平面向量内积坐标公式推导_平面向量的所有公式-平面向量公式

1

平面向量的所有公式

设

a=

(

x

，

y

)

，

b=(x'

，

y')

。

1

、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC

。

a+b=(x+x'

，

y+y')

。

a+0=0+a=a

。

向量加法的运算律：

交换律：

a+b=b+a

；

结合律：

(a+b)+c=a+(b+c)

。

2

、向量的减法

如果

a

、

b

是互为相反的向量，那么

a=-b

，

b=-a

，

a+b=0.0

的反向量为

0

AB-AC=CB.

即

“

共同起点，指向被减

”

a=(x,y)b=(x',y')

则

a-b=(x-x',y-y').

3

、数乘向量

实数

λ

和向量

a

的乘积是一个向量，记作

λa

，且∣

λa

∣

=

∣

λ

∣

•

∣

a

∣。

当

λ

＞

0

时，

λa

与

a

同方向；

当

λ

＜

0

时，

λa

与

a

反方向；

当

λ=0

时，

λa=0

，方向任意。

当

a=0

时，对于任意实数

λ

，都有

λa=0

。

注：按定义知，如果

λa=0

，那么

λ=0

或

a=0

。

实数

λ

叫做向量

a

的系数，

乘数向量

λa

的几何意义就是将表示向量

a

的有向线段伸长或压

缩。

当∣

λ

∣＞

1

时，表示向量

a

的有向线段在原方向(

λ

＞

0

)或反方向(

λ

＜

0

)上伸长为原来

的∣

λ

∣倍；

当∣

λ

∣＜

1

时，表示向量

a

的有向线段在原方向(

λ

＞

0

)或反方向(

λ

＜

0

)上缩短为原来

的∣

λ

∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：

(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)

。

向量对于数的分配律(第一分配律)

：

(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律(第二分配律)

：

λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：

①

如果实数

λ≠0

且

λa=λb

，

那么

a=b

。

②

如果

a≠0

且

λa=μa

，

那么

λ=μ

。

4

、向量的的数量积

定义：

已知两个非零向量

a,b

。

作

OA=a,OB=b,

则角

AOB

称作向量

a

和向量

b

的夹角，

记作

〈

a,b

〉并规定

0≤

〈

a,b

〉

≤π

定义：

两个向量的数量积

(内积、

点积)

是一个数量，

记作

a•b

。

若

a

、

b

不共线，

则

a•b=|a|•|b|•cos

〈

a

，

b

〉

；若

a

、

b

共线，则

a•b=+

-

∣

a

∣∣

b

∣。

向量的数量积的坐标表示：

a•b=x•x'+y•y'

。

向量的数量积的运算律

a•b=b•a

(交换律)

；

(λa)•b=λ(a•b)(

关于数乘法的结合律

)

；

(

a+b)•c=a•c+b•c

(分配律)

；

向量的数量积的性质

a•a=|a|

的平方。

a

⊥

b

〈

=

〉

a•b=0

。

|a•b|≤|a|•|b|

。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1

、向量的数量积不满足结合律，即：

(a•b)•c≠a•(b•c)

；例如：

(a•b)^2≠a^2•b^2

。