Vector autoregressive model 是多元时间序列分析中最基础的一族模型之一，我们可以从两个角度来理解它，
从纵向比较来看，它是单变量时间序列Autoregressive(AR)模型在多元时间序列上的衍生；
从横向比较来看，它和它的其他小伙伴VMA，VARMA等都是在用线性关系刻画一个平稳的系统；
下面我们主要阐述 VAR的性质，内生变量与外生变量，VAR的应用(厉害在哪里)
1)VAR的性质
向量自回归模型的数学表达如下，Zt是多元变量在t时刻的取值，通过时间推移算子可以将向量自回归的过程紧凑的表达出来；
就像我们可以轻易的从单变量回归走向多变量回归，从AR过程走向VAR过程的数学推导也是类似的；
我们在做参数估计的时候也需要用到 Yule-walker 方程：
当然，最小二乘也是可以的，并且当模型不平稳时最小二乘法估计出来的参数还可以保持一致性；
2) 内生变量与外生变量
内生变量就是参与模型并由模型体系内决定的变量，外生变量时由模型外的因素决定的变量，我们举一个例子便于理解：
下图是一个VARMA模型的部分表达形式，公式本身经过了变换不易于理解，但是我们从图中可以看到Z2是由Z1决定而Z1仅仅由a(随机扰动决定)，那么在这个方程组里，Z1是外生的，Z2是内生的；
VAR模型本身，从数学角度上来说并没有强制要求所有的变量均为内生变量，例子如下：
在上图的 VAR(1) model里，完全可以强制要求Z2仅仅由Z1决定，而第一个方程中的第二个系数为0，也就是说其中一个变量是完全独立的AR过程，而另一个变量受它的影响。python，R等等很多函数都提供了外生变量的接口，如下图：
你可以选择一部分变量作为exog，其实质是在进行参数估计前早已经将那一部分参数设置为0；
当然，在大部分日常模型中，既然用VAR，就假定是一个相互影响的关系，都是内生或者用模型估计参数时没有绝对的0出现也是很正常的。
3)VAR 的应用
多元时间序列分析在现实中有很多应用，比如经济，商业，社会科学，地球物理，环境科学，工程学等等；
比如，我们可能需要研究压力，温度之间随着时间的动态关系；如下图：
但凡涉及到多元时间序列分析，第一个就想到VAR和它的变体们，有如下几点原因：
第一，在平稳的条件下，VAR模型的参数估计与最小二乘估计是一致的，并且有许许多多统计上的优良性质，便于区间估计，误差分析和模型诊断等；
第二，VAR可以刻画变量之间相互影响的动态线性相关关系，不论是用在预测，解释还是敏感性分析都明确'的方式；
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