Vector autoregressive model 是多元时间序列分析中最基础的一族模型之一,我们可以从两个角度来理解它,
从纵向比较来看,它是单变量时间序列Autoregressive(AR)模型在多元时间序列上的衍生;
从横向比较来看,它和它的其他小伙伴VMA,VARMA等都是在用线性关系刻画一个平稳的系统;
下面我们主要阐述 VAR的性质,内生变量与外生变量,VAR的应用(厉害在哪里)
1)VAR的性质
向量自回归模型的数学表达如下,Zt是多元变量在t时刻的取值,通过时间推移算子可以将向量自回归的过程紧凑的表达出来;
就像我们可以轻易的从单变量回归走向多变量回归,从AR过程走向VAR过程的数学推导也是类似的;
我们在做参数估计的时候也需要用到 Yule-walker 方程:
当然,最小二乘也是可以的,并且当模型不平稳时最小二乘法估计出来的参数还可以保持一致性;
2) 内生变量与外生变量
内生变量就是参与模型并由模型体系内决定的变量,外生变量时由模型外的因素决定的变量,我们举一个例子便于理解:
下图是一个VARMA模型的部分表达形式,公式本身经过了变换不易于理解,但是我们从图中可以看到Z2是由Z1决定而Z1仅仅由a(随机扰动决定),那么在这个方程组里,Z1是外生的,Z2是内生的;
VAR模型本身,从数学角度上来说并没有强制要求所有的变量均为内生变量,例子如下:
在上图的 VAR(1) model里,完全可以强制要求Z2仅仅由Z1决定,而第一个方程中的第二个系数为0,也就是说其中一个变量是完全独立的AR过程,而另一个变量受它的影响。python,R等等很多函数都提供了外生变量的接口,如下图:
你可以选择一部分变量作为exog,其实质是在进行参数估计前早已经将那一部分参数设置为0;
当然,在大部分日常模型中,既然用VAR,就假定是一个相互影响的关系,都是内生或者用模型估计参数时没有绝对的0出现也是很正常的。
3)VAR 的应用
多元时间序列分析在现实中有很多应用,比如经济,商业,社会科学,地球物理,环境科学,工程学等等;
比如,我们可能需要研究压力,温度之间随着时间的动态关系;如下图:
但凡涉及到多元时间序列分析,第一个就想到VAR和它的变体们,有如下几点原因:
第一,在平稳的条件下,VAR模型的参数估计与最小二乘估计是一致的,并且有许许多多统计上的优良性质,便于区间估计,误差分析和模型诊断等;
第二,VAR可以刻画变量之间相互影响的动态线性相关关系,不论是用在预测,解释还是敏感性分析都明确'的方式;
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