参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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5.离散系统的稳定性与稳态误差
5.1 s s s域到 z z z域的映射
在 z z z变换定义中， z = e s T z=e^{sT} z=esT给出了 s s s域到 z z z域的关系， s s s域中的任意点可表示为 s = σ + j ω s=\sigma+j\omega s=σ+jω，映射到 z z z域为：
z = e ( σ + j ω ) T = e σ T e j ω T (1) z=e^{(\sigma+j\omega)T}=e^{\sigma{T}}e^{j\omega{T}}\tag{1} z=e(σ+jω)T=eσTejωT(1)
s s s域到 z z z域的基本映射关系为：
∣ z ∣ = e σ T ， ∠ z = ω T (2) |z|=e^{\sigma{T}}，\angle{z}=\omega{T}\tag{2} ∣z∣=eσT，∠z=ωT(2)
令 σ = 0 \sigma=0 σ=0，相当于取 s s s平面的虚轴，当 ω → − ∞ \omega\rightarrow-\infty ω→−∞变到 ∞ \infty ∞时，映射到 z z z平面的轨迹是以原点为圆心的单位圆；
当 s s s平面上的点沿虚轴从 − ∞ -\infty −∞移到 ∞ \infty ∞时， z z z平面上的相应点已经沿着单位圆转过了无穷多圈；因为当 s s s平面上的点沿虚轴从 − ω s / 2 -\omega_s/2 −ωs/2移动到 ω s / 2 \omega_s/2 ωs/2时，其中 ω s \omega_s ωs为采样角频率， z z z平面上的相应点沿单位圆从 − π -\pi −π逆时针变化到 π \pi π，正好转了一圈；当 s s s平面上的点在虚轴上从 ω s / 2 \omega_s/2 ωs/2移动到 3 ω s / 2 3\omega_s/2 3ωs/2时， z z z平面上的相应点将逆时针沿单位圆转过一圈；
由图7-29知，把 s s s平面划分为无穷多条平行于实轴的周期带，其中从 − ω s / 2 -\omega_s/2 −ωs/2到 ω s / 2 \omega_s/2 ωs/2的周期带称为主要带，其余的周期带称为次要带；
研究 s s s平面上的主要带在 z z z平面上的映射，进行如下讨论：
等 σ \sigma σ线映射
s s s平面上的等 σ \sigma σ垂线，映射到 z z z平面上的轨迹，是以原定为圆心，以 ∣ z ∣ = e σ T |z|=e^{\sigma{T}} ∣z∣=eσT为半径的圆，其中： T T T为采样周期；
s s s平面上的虚轴映射为 z z z平面上的单位圆，因此，左半 s s s平面上的等 σ \sigma σ线映射为 z z z平面上的同心圆，在单位圆内；右半 s s s平面上的等 σ \sigma σ线映射为 z z z平面上的同心圆，在单位圆外；
等 ω \omega ω线映射
在特定采样周期 T T T情况下， s s s平面上的等 ω \omega ω水平线映射到 z z z平面上的轨迹，是一簇从原点出发的射线，其相角 ∠ z = ω T \angle{z}=\omega{T} ∠z=ωT从正实轴计量，如下图所示：
s s s平面上 ω = ω s / 2 \omega=\omega_s/2 ω=ωs/2水平线，在 z z z平面上正好映射为负实轴；
等 ζ \zeta ζ线映射
s s s平面上的等 ζ \zeta ζ线用下式描述：
s = − ω tan β + j ω (3) s=-\omega\tan\beta+j\omega\tag{3} s=−ωtanβ+jω(3)
其中： β \beta β为 ζ \zeta ζ线与虚轴之间的夹角；
z = e s T = e ( ω tan β + j ω ) T (4) z=e^{sT}=e^{(\omega\tan\beta+j\omega)T}\tag{4} z=esT=e(ωtanβ+jω)T(4)
等 ζ \zeta ζ线从 s s s域到 z z z域的映射关系式为：
∣ z ∣ = e − ( 2 π / ω s ) ω tan β , ∠ z = 2 π ω ω s (5) |z|=e^{-(2\pi/\omega_s)\omega\tan\beta},\angle{z}=\frac{2\pi\omega}{\omega_s}\tag{5} ∣z∣=e−(2π/ωs)ωtanβ,∠z=ωs2πω(5)
除 β = 0 ° \beta=0° β=0°和 β = 90 ° \beta=90° β=90°外，当 β \beta β为常数时，左半 s s s平面上的等 ζ \zeta ζ线，映射为 z z z平面上单位圆内一簇收敛的对数螺旋线，其起点为 z z z平面上正实轴的1处，终点为 z z z平面的原点；
设 s s s平面上的主要带如下图所示，通过 z = e s T z=e^{sT} z=esT变换，映射为 z z z平面上的单位圆及单位圆内的负实轴，如下图所示：
s s s平面上所有的次要带，在 z z z平面上映射为相同的单位圆及单位圆内的负实轴；
5.2 离散系统稳定的充分必要条件
定义：若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该离散系统是稳定的；
在线性定常连续系统中，系统稳定的充分必要条件是：系统齐次微分方程的解是收敛的，或系统特征方程式的根均具有负实部，或系统传递函数的极点均位于左半 s s s平面；
时域中离散系统稳定的充分必要条件
设线性定常差分方程为：
c ( k ) = − ∑ i = 1 n a i c ( k − i ) + ∑ j = 0 m b j r ( k − j ) (6) c(k)=-\sum_{i=1}^na_ic(k-i)+\sum_{j=0}^mb_jr(k-j)\tag{6} c(k)=−i=1∑naic(k−i)+j=0∑mbjr(k−j)(6)
其齐次差分方程为：
c ( k ) + ∑ i = 1 n a i c ( k − i ) = 0 c(k)+\sum_{i=1}^na_ic(k-i)=0 c(k)+i=1∑naic(k−i)=0
差分方程的特征方程为：
α n + a 1 α n − 1 + a 2 α n − 2 + ⋯ + a n = 0 (7) \alpha^{n}+a_1\alpha^{n-1}+a_2\alpha^{n-2}+\dots+a_n=0\tag{7} αn+a1αn−1+a2αn−2+⋯+an=0(7)
当特征方程(7)的根 ∣ α i ∣ < 1 ( i = 1 , 2 , … , n ) |\alpha_i|<1(i=1,2,\dots,n) ∣αi∣<1(i=1,2,…,n)时，必有： lim k → ∞ c ( k ) = 0 \lim_{k\rightarrow\infty}c(k)=0 limk→∞c(k)=0，因此，系统稳定的充分必要条件是：当且仅当差分方程(6)所有特征根的模 ∣ α i ∣ < 1 ( i = 1 , 2 , … , n ) |\alpha_i|<1(i=1,2,\dots,n) ∣αi∣<1(i=1,2,…,n)，相应的线性定常离散系统是稳定的；
z z z域中离散系统稳定的充分必要条件
设典型离散系统结构图若下图所示，
其特征方程为：
D ( z ) = 1 + G H ( z ) = 0 (8) D(z)=1+GH(z)=0\tag{8} D(z)=1+GH(z)=0(8)
不失一般性，设特征方程的根或闭环脉冲传递函数的极点为各不相同的 z 1 , z 2 , … , z n z_1,z_2,\dots,z_n z1,z2,…,zn；由 s s s域到 z z z域的映射关系可知： s s s左半平面映射为 z z z平面上的单位圆内的区域，对应稳定区域； s s s右半平面映射为 z z z平面上的单位圆外的区域，对应不稳定区域； s s s平面上的虚轴，映射为 z z z平面上的单位圆周，对应临界稳定情况；
z z z域中，线性定常离散系统稳定的充分必要条件：当且仅当离散系统特征方程的全部特征根均分布在 z z z平面上的单位圆内，或所有特征根的模均小于1，即 ∣ z i ∣ < 1 ( i = 1 , 2 , … , n ) |z_i|<1(i=1,2,\dots,n) ∣zi∣<1(i=1,2,…,n)，相应的线性定常离散系统是稳定的；
实例分析
Example1：设离散系统可用如下差分方程描述：
c ( n + 1 ) − a c ( n ) = b r ( n ) , c ( 0 ) ≠ 0 c(n+1)-ac(n)=br(n),c(0)≠0 c(n+1)−ac(n)=br(n),c(0)=0
分析系统稳定的充分必要条件。
解：
给定系统相应的齐次方程为：
c ( n + 1 ) − a c ( n ) = 0 c(n+1)-ac(n)=0 c(n+1)−ac(n)=0
利用迭代法，求出通解：
c ( n + 1 ) = a n + 1 c ( 0 ) c(n+1)=a^{n+1}c(0) c(n+1)=an+1c(0)
因为 c ( 0 ) ≠ 0 c(0)≠0 c(0)=0，因此当 ∣ a ∣ < 1 |a|<1 ∣a∣<1时，才有 lim k → ∞ c ( n ) = 0 \lim_{k\rightarrow\infty}c(n)=0 limk→∞c(n)=0；
因此，系统稳定的充分必要条件是 ∣ a ∣ < 1 |a|<1 ∣a∣<1；
实例分析：
Example2：设离散系统如下图所示，分析系统的稳定性。其中 T = 1 T=1 T=1。
解：
开环脉冲传递函数为：
G ( z ) = 10 ( 1 − e − 1 ) z ( z − 1 ) ( z − e − 1 ) G(z)=\frac{10(1-e^{-1})z}{(z-1)(z-e^{-1})} G(z)=(z−1)(z−e−1)10(1−e−1)z
闭环特征方程为：
1 + G ( z ) = 1 + 10 ( 1 − e − 1 ) z ( z − 1 ) ( z − e − 1 ) = 0 1+G(z)=1+\frac{10(1-e^{-1})z}{(z-1)(z-e^{-1})}=0 1+G(z)=1+(z−1)(z−e−1)10(1−e−1)z=0
即：
z 2 + 4.952 z + 0.368 = 0 z^2+4.952z+0.368=0 z2+4.952z+0.368=0
解出特征方程的根：
z 1 = − 0.076 ， z 2 = − 4.876 z_1=-0.076，z_2=-4.876 z1=−0.076，z2=−4.876
因为 ∣ z 2 ∣ > 1 |z_2|>1 ∣z2∣>1，因此该离散系统不稳定；
5.3 离散系统的稳定性判据
w w w变换与劳斯稳定判据
令
z = w + 1 w − 1 (9) z=\frac{w+1}{w-1}\tag{9} z=w−1w+1(9)
有：
w = z + 1 z − 1 (10) w=\frac{z+1}{z-1}\tag{10} w=z−1z+1(10)
式(9)和式(10)表明：复变量 z z z与 w w w互为线性变换， w w w变换称为双线性变换；
z z z平面与 w w w平面的对应关系如下图所示：
w w w平面的虚轴对应 z z z平面上的单位圆周；左半 w w w平面对应于 z z z平面上单位圆内的区域；右半 w w w平面对应 z z z平面上单位圆外的区域；
离散系统稳定的充分必要条件：由特征方程 1 + G H ( z ) = 0 1+GH(z)=0 1+GH(z)=0的所有根位于 z z z平面上的单位圆内转换为特征方程 1 + G H ( w ) = 0 1+GH(w)=0 1+GH(w)=0的所有根位于左半 w w w平面；
实例分析：
Example3：设闭环离散系统如下图所示，采样周期 T = 0.1 s T=0.1s T=0.1s，求系统稳定时 K K K的临界值。
解：
G ( s ) G(s) G(s)的 z z z变换：
G ( z ) = 0.632 K z z 2 − 1.368 z + 0.368 G(z)=\frac{0.632Kz}{z^2-1.368z+0.368} G(z)=z2−1.368z+0.3680.632Kz
闭环脉冲传递函数为：
Φ ( z ) = G ( z ) 1 + G ( z ) \Phi(z)=\frac{G(z)}{1+G(z)} Φ(z)=1+G(z)G(z)
闭环特征方程为：
1 + G ( z ) = z 2 + ( 0.632 K − 1.368 ) z + 0.368 = 0 1+G(z)=z^2+(0.632K-1.368)z+0.368=0 1+G(z)=z2+(0.632K−1.368)z+0.368=0
令 z = ( w + 1 ) / ( w − 1 ) z=(w+1)/(w-1) z=(w+1)/(w−1)，可得：
( w + 1 w − 1 ) 2 + ( 0.632 K − 1.368 ) ( w + 1 w − 1 ) + 0.368 = 0 \left(\frac{w+1}{w-1}\right)^2+(0.632K-1.368)\left(\frac{w+1}{w-1}\right)+0.368=0 (w−1w+1)2+(0.632K−1.368)(w−1w+1)+0.368=0
化简可得 w w w域特征方程：
0.632 K w 2 + 1.264 w + ( 2.736 − 0.632 K ) = 0 0.632Kw^2+1.264w+(2.736-0.632K)=0 0.632Kw2+1.264w+(2.736−0.632K)=0
列出劳斯表：
为保证系统稳定，必须使 K > 0 K>0 K>0和 2.736 − 0.632 K > 0 2.736-0.632K>0 2.736−0.632K>0，即 K < 4.33 K<4.33 K<4.33；
因此，系统稳定的临界增益为： K c = 4.33 K_c=4.33 Kc=4.33；
朱利稳定判据
朱利判据是根据离散系统的闭环特征方程 D ( z ) = 0 D(z)=0 D(z)=0的系数，判别其根是否位于 z z z平面上的单位圆内，从而判断该离散系统是否稳定。
设离散系统 n n n阶闭环特征方程为：
D ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ + a n z n = 0 , a n > 0 (11) D(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\dots+a_nz^n=0,a_n>0\tag{11} D(z)=a0+a1z+a2z2+⋯+anzn=0,an>0(11)
按照下述方法构造 ( 2 n − 3 ) (2n-3) (2n−3)行、 ( n + 1 ) (n+1) (n+1)列朱利阵列。
其中：
b k = ∣ a 0 a n − k a n a k ∣ ， k = 0 , 1 , 2 , … , n − 1 b_k=\begin{vmatrix} a_0 & a_{n-k}\\ a_n & a_k \end{vmatrix}，k=0,1,2,\dots,n-1 bk=∣ ∣a0anan−kak∣ ∣，k=0,1,2,…,n−1
c k = ∣ b 0 b n − k − 1 b n − 1 b k ∣ ， k = 0 , 1 , 2 , … , n − 2 c_k= \begin{vmatrix} b_0 & b_{n-k-1}\\ b_{n-1} & b_k \end{vmatrix}，k=0,1,2,\dots,n-2 ck=∣ ∣b0bn−1bn−k−1bk∣ ∣，k=0,1,2,…,n−2
d k = ∣ c 0 c n − k − 2 c n − 2 c k ∣ ， k = 0 , 1 , 2 , … , n − 3 d_k= \begin{vmatrix} c_0 & c_{n-k-2}\\ c_{n-2} & c_k \end{vmatrix}，k=0,1,2,\dots,n-3 dk=∣ ∣c0cn−2cn−k−2ck∣ ∣，k=0,1,2,…,n−3
⋮ \vdots ⋮
q 0 = ∣ p 0 p 3 p 3 p 0 ∣ ， q 1 = ∣ p 0 p 2 p 3 p 1 ∣ ， q 2 = ∣ p 0 p 1 p 3 p 2 ∣ ， q_0= \begin{vmatrix} p_0 & p_{3}\\ p_3 & p_0 \end{vmatrix}， q_1= \begin{vmatrix} p_0 & p_{2}\\ p_3 & p_1 \end{vmatrix}， q_2= \begin{vmatrix} p_0 & p_{1}\\ p_3 & p_2 \end{vmatrix}， q0=∣ ∣p0p3p3p0∣ ∣，q1=∣ ∣p0p3p2p1∣ ∣，q2=∣ ∣p0p3p1p2∣ ∣，
朱利稳定判据：
特征方程 D ( z ) = 0 D(z)=0 D(z)=0的根，全部位于 z z z平面上单位圆内的充分必要条件是：
D ( 1 ) > 0 ， D ( − 1 ) { > 0 ，当 n 为偶数时 < 0 ，当 n 为奇数时 D(1)>0，D(-1)\begin{cases}>0，当n为偶数时\\<0，当n为奇数时\end{cases} D(1)>0，D(−1){>0，当n为偶数时<0，当n为奇数时
及以下 n − 1 n-1 n−1个约束条件成立：
∣ a 0 ∣ < a n , ∣ b 0 ∣ > ∣ b n − 1 ∣ , ∣ c 0 ∣ > ∣ c n − 2 ∣ , ∣ d 0 ∣ > ∣ d n − 3 ∣ , … , ∣ q 0 ∣ > ∣ q 2 ∣ |a_0|<a_n,|b_0|>|b_{n-1}|,|c_0|>|c_{n-2}|,|d_0|>|d_{n-3}|,\dots,|q_0|>|q_2| ∣a0∣<an,∣b0∣>∣bn−1∣,∣c0∣>∣cn−2∣,∣d0∣>∣dn−3∣,…,∣q0∣>∣q2∣
实例分析：
Example4：已知离散系统闭环特征方程为：
D ( z ) = z 4 − 1.368 z 3 + 0.4 z 2 + 0.08 z + 0.002 = 0 D(z)=z^4-1.368z^3+0.4z^2+0.08z+0.002=0 D(z)=z4−1.368z3+0.4z2+0.08z+0.002=0
用朱利稳定判据判断系统的稳定性。
解：
由于 n = 4 , 2 n − 3 = 5 n=4,2n-3=5 n=4,2n−3=5，因此朱利阵列有5行5列；
依题意可知， a 0 = 0.002 , a 1 = 0.08 , a 2 = 0.4 , a 3 = − 1.368 , a 4 = 1 a_0=0.002,a_1=0.08,a_2=0.4,a_3=-1.368,a_4=1 a0=0.002,a1=0.08,a2=0.4,a3=−1.368,a4=1；
计算朱利阵列元素：
b 0 = ∣ a 0 a 4 a 4 a 0 ∣ = − 1 , b 1 = ∣ a 0 a 3 a 4 a 1 ∣ = 1.368 , b 2 = ∣ a 0 a 2 a 4 a 2 ∣ = − 0.399 b 3 = ∣ a 0 a 1 a 4 a 3 ∣ = − 0.082 , c 0 = ∣ b 0 b 3 b 3 b 0 ∣ = 0.993 , c 1 = ∣ b 0 b 2 b 3 b 1 ∣ = − 1.401 c 2 = ∣ b 0 b 1 b 3 b 2 ∣ = 0.511 \begin{aligned} &b_0=\begin{vmatrix}a_0 & a_4\\a_4 & a_0\end{vmatrix}=-1,&b_1=\begin{vmatrix}a_0 & a_3\\a_4 & a_1\end{vmatrix}=1.368,&b_2=\begin{vmatrix}a_0 & a_2\\a_4 & a_2\end{vmatrix}=-0.399\\ &b_3=\begin{vmatrix}a_0 & a_1\\a_4 & a_3\end{vmatrix}=-0.082,&c_0=\begin{vmatrix}b_0 & b_3\\b_3 & b_0\end{vmatrix}=0.993,&c_1=\begin{vmatrix}b_0 & b_2\\b_3 & b_1\end{vmatrix}=-1.401\\ &c_2=\begin{vmatrix}b_0 & b_1\\b_3 & b_2\end{vmatrix}=0.511 \end{aligned} b0=∣ ∣a0a4a4a0∣ ∣=−1,b3=∣ ∣a0a4a1a3∣ ∣=−0.082,c2=∣ ∣b0b3b1b2∣ ∣=0.511b1=∣ ∣a0a4a3a1∣ ∣=1.368,c0=∣ ∣b0b3b3b0∣ ∣=0.993,b2=∣ ∣a0a4a2a2∣ ∣=−0.399c1=∣ ∣b0b3b2b1∣ ∣=−1.401
朱利阵列如下：
因为：
D ( 1 ) = 0.114 > 0 ， D ( − 1 ) = 2.69 > 0 D(1)=0.114>0，D(-1)=2.69>0 D(1)=0.114>0，D(−1)=2.69>0
∣ a 0 ∣ = 0.002 , ∣ a 4 ∣ = 1 ，满足 ∣ a 0 ∣ < a 4 ∣ b 0 ∣ = 1 , ∣ b 3 ∣ = 0.082 ，满足 ∣ b 0 ∣ > ∣ b 3 ∣ ∣ c 0 ∣ = 0.993 , ∣ c 2 ∣ = 0.511 , 满足 ∣ c 0 ∣ > ∣ c 2 ∣ \begin{aligned} &|a_0|=0.002,|a_4|=1，满足|a_0|<a_4\\ &|b_0|=1,|b_3|=0.082，满足|b_0|>|b_3|\\ &|c_0|=0.993,|c_2|=0.511,满足|c_0|>|c_2| \end{aligned} ∣a0∣=0.002,∣a4∣=1，满足∣a0∣<a4∣b0∣=1,∣b3∣=0.082，满足∣b0∣>∣b3∣∣c0∣=0.993,∣c2∣=0.511,满足∣c0∣>∣c2∣
由朱利判据可知，该离散系统是稳定的。
5.4 采样周期与开环增益对稳定性的影响
当采样周期一定时，加大开环增益会使离散系统的稳定性变差，甚至使系统变得不稳定；当开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息越多，对离散系统的稳定性及动态性能均不利，甚至可使系统失去稳定性；5.5 离散系统的稳态误差
设单位反馈误差采样系统如下图所示：
其中： G ( s ) G(s) G(s)为连续部分的传递函数， e ( t ) e(t) e(t)为系统连续误差信号， e ∗ ( t ) e^*(t) e∗(t)为系统采样误差信号，其 z z z变换为：
E ( z ) = R ( z ) − C ( z ) = [ 1 − Φ ( z ) ] R ( z ) = Φ e ( z ) R ( z ) (12) E(z)=R(z)-C(z)=[1-\Phi(z)]R(z)=\Phi_e(z)R(z)\tag{12} E(z)=R(z)−C(z)=[1−Φ(z)]R(z)=Φe(z)R(z)(12)
其中：
Φ e ( z ) = E ( z ) R ( z ) = 1 1 + G ( z ) (13) \Phi_e(z)=\frac{E(z)}{R(z)}=\frac{1}{1+G(z)}\tag{13} Φe(z)=R(z)E(z)=1+G(z)1(13)
如果 Φ e ( z ) \Phi_e(z) Φe(z)的极点全部位于 z z z平面上的单位圆内，即若离散系统是稳定的，可用 z z z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差：
e s s ( ∞ ) = lim t → ∞ e ∗ ( t ) = lim z → 1 ( 1 − z − 1 ) E ( z ) = lim z → 1 ( z − 1 ) R ( z ) z [ 1 + G ( z ) ] (14) e_{ss}(\infty)=\lim_{t\rightarrow\infty}e^*(t)=\lim_{z\rightarrow1}(1-z^{-1})E(z)=\lim_{z\rightarrow1}\frac{(z-1)R(z)}{z[1+G(z)]}\tag{14} ess(∞)=t→∞lime∗(t)=z→1lim(1−z−1)E(z)=z→1limz[1+G(z)](z−1)R(z)(14)
上式表明，线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统本身的结构和参数有关，且与输入序列的形式及幅值有关； G ( z ) G(z) G(z)还与采样周期 T T T有关，因此离散系统的稳态误差值与采样周期的选取也有关；
实例分析：
Example5：设离散系统如下图所示，其中 G ( s ) = 1 / s ( 0.1 s + 1 ) , T = 0.1 s G(s)=1/s(0.1s+1),T=0.1s G(s)=1/s(0.1s+1),T=0.1s，输入连续信号 r ( t ) r(t) r(t)分别为 1 ( t ) 1(t) 1(t)和 t t t，求离散系统相应的稳态误差。
解：
G ( s ) G(s) G(s)相应的 z z z变换：
G ( z ) = z ( 1 − e − 1 ) ( z − 1 ) ( z − e − 1 ) G(z)=\frac{z(1-e^{-1})}{(z-1)(z-e^{-1})} G(z)=(z−1)(z−e−1)z(1−e−1)
系统误差脉冲传递函数：
Φ e ( z ) = 1 1 + G ( z ) = ( z − 1 ) ( z − 0.368 ) z 2 − 0.736 z + 0.368 \Phi_e(z)=\frac{1}{1+G(z)}=\frac{(z-1)(z-0.368)}{z^2-0.736z+0.368} Φe(z)=1+G(z)1=z2−0.736z+0.368(z−1)(z−0.368)
闭环极点为：
z 1 = 0.368 + j 0.482 ， z 2 = 0.368 − j 0.482 z_1=0.368+j0.482，z_2=0.368-j0.482 z1=0.368+j0.482，z2=0.368−j0.482
全部位于 z z z平面上的单位圆内，因此可以应用终值定理方法求稳态误差。
当 r ( t ) = 1 ( t ) r(t)=1(t) r(t)=1(t)，相应 r ( n T ) = 1 ( n T ) r(nT)=1(nT) r(nT)=1(nT)时， R ( z ) = z / ( z − 1 ) R(z)=z/(z-1) R(z)=z/(z−1)，可得：
e s s ( ∞ ) = lim z → 1 ( z − 1 ) ( z − 0.368 ) z 2 − 0.736 z + 0.368 = 0 e_{ss}(\infty)=\lim_{z\rightarrow1}\frac{(z-1)(z-0.368)}{z^2-0.736z+0.368}=0 ess(∞)=z→1limz2−0.736z+0.368(z−1)(z−0.368)=0
当 r ( t ) = t r(t)=t r(t)=t，相应 r ( n T ) = n T r(nT)=nT r(nT)=nT时， R ( z ) = T z / ( z − 1 ) 2 R(z)=Tz/(z-1)^2 R(z)=Tz/(z−1)2，可得：
e s s ( ∞ ) = lim z → 1 T ( z − 0.368 ) z 2 − 0.736 z + 0.368 = T = 0.1 e_{ss}(\infty)=\lim_{z\rightarrow1}\frac{T(z-0.368)}{z^2-0.736z+0.368}=T=0.1 ess(∞)=z→1limz2−0.736z+0.368T(z−0.368)=T=0.1
5.6 离散系统的型别与静态误差系数
在离散系统中，把开环脉冲传递函数 G ( z ) G(z) G(z)具有 z = 1 z=1 z=1的极点数 ν \nu ν作为划分离散系统型别的标准，把 G ( z ) G(z) G(z)中 ν = 0 , 1 , 2 , … \nu=0,1,2,\dots ν=0,1,2,…的系统，称为0型、Ⅰ型和Ⅱ型离散系统等；
单位阶跃输入时的稳态误差
当系统输入为单位阶跃函数 r ( t ) = 1 ( t ) r(t)=1(t) r(t)=1(t)时， z z z变换函数为：
R ( z ) = z z − 1 (15) R(z)=\frac{z}{z-1}\tag{15} R(z)=z−1z(15)
稳态误差为：
e s s ( ∞ ) = lim z → 1 1 1 + G ( z ) = 1 lim z → 1 [ 1 + G ( z ) ] = 1 K p (16) e_{ss}(\infty)=\lim_{z\rightarrow1}\frac{1}{1+G(z)}=\frac{1}{\lim_{z\rightarrow1}[1+G(z)]}=\frac{1}{K_p}\tag{16} ess(∞)=z→1lim1+G(z)1=limz→1[1+G(z)]1=Kp1(16)
其中静态位置误差系数为：
K p = lim z → 1 [ 1 + G ( z ) ] (17) K_p=\lim_{z\rightarrow1}[1+G(z)]\tag{17} Kp=z→1lim[1+G(z)](17)
在单位阶跃函数作用下，0型离散系统在采样瞬时存在位置误差，Ⅰ型及Ⅰ型以上的离散系统，在采样瞬时没有位置误差；
单位斜坡输入时的稳态误差
当系统输入为单位斜坡函数 r ( t ) = t r(t)=t r(t)=t时， z z z变换函数为：
R ( z ) = T z ( z − 1 ) 2 (18) R(z)=\frac{Tz}{(z-1)^2}\tag{18} R(z)=(z−1)2Tz(18)
稳态误差为：
e s s ( ∞ ) = lim z → 1 T ( z − 1 ) [ 1 + G ( z ) ] = T lim z → 1 ( z − 1 ) G ( z ) = T K v (19) e_{ss}(\infty)=\lim_{z\rightarrow1}\frac{T}{(z-1)[1+G(z)]}=\frac{T}{\lim_{z\rightarrow1}(z-1)G(z)}=\frac{T}{K_v}\tag{19} ess(∞)=z→1lim(z−1)[1+G(z)]T=limz→1(z−1)G(z)T=KvT(19)
其中静态速度误差系数为：
K v = lim z → 1 ( z − 1 ) G ( z ) (20) K_v=\lim_{z\rightarrow1}(z-1)G(z)\tag{20} Kv=z→1lim(z−1)G(z)(20)
0型离散系统不能承受单位斜坡函数作用，Ⅰ型离散系统在单位斜坡函数作用下存在速度误差，Ⅱ型及Ⅱ型以上离散系统在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差；
单位加速度输入时的稳态误差
当系统输入为单位加速度函数 r ( t ) = t 2 / 2 r(t)=t^2/2 r(t)=t2/2时， z z z变换函数为：
R ( z ) = T 2 z ( z + 1 ) 2 ( z − 1 ) 3 (21) R(z)=\frac{T^2z(z+1)}{2(z-1)^3}\tag{21} R(z)=2(z−1)3T2z(z+1)(21)
稳态误差为：
e s s ( ∞ ) = lim z → 1 T 2 ( z + 1 ) 2 ( z − 1 ) 2 [ 1 + G ( z ) ] = T 2 lim z → 1 ( z − 1 ) 2 G ( z ) = T 2 K a (22) e_{ss}(\infty)=\lim_{z\rightarrow1}\frac{T^2(z+1)}{2(z-1)^2[1+G(z)]}=\frac{T^2}{\lim_{z\rightarrow1}(z-1)^2G(z)}=\frac{T^2}{K_a}\tag{22} ess(∞)=z→1lim2(z−1)2[1+G(z)]T2(z+1)=limz→1(z−1)2G(z)T2=KaT2(22)
其中静态加速度误差系数为：
K a = lim z → 1 ( z − 1 ) 2 G ( z ) (23) K_a=\lim_{z\rightarrow1}(z-1)^2G(z)\tag{23} Ka=z→1lim(z−1)2G(z)(23)
0型和Ⅰ型离散系统不能承受单位加速度函数作用，Ⅱ型离散系统在单位加速度函数作用下存在加速度误差，Ⅲ型及Ⅲ型以上的离散系统在单位加速度函数作用下，不存在采样瞬时的稳态误差；
单位反馈离散系统的稳态误差小结：
