问题补充:
已知:如图,AB为⊙O的直径,弦AC∥OD,BD切⊙O于B,连接CD,
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AC=2,OD=6,求⊙O的半径.
答案:
(1)证明:如图,连接OC.
∵OD∥AC(已知),
∴∠COD=∠ACO(两直线平行,内错角相等),∠CAO=∠DOB(两直线平行,同位角相等).
又∵∠ACO=∠CAO(等边对等角),
∴∠COD=∠DOB(等量代换);
∵OD=OD,OC=OB,
∴△COD≌△BOD(SAS)
∴∠OCD=∠OBD(全等三角形的对应角相等);
∵BD是⊙O的切线,
∴∠OBD=90°,
∴∠OCD=90°,
∴OC⊥CD,即CD是⊙O的切线;
(2)解:连接BC交OD于E.
∵CD和BD都是⊙O的切线,
∴CD=BD,∠CDO=∠BDO;
∴BC⊥OD,BE=CE,∠OBD=90°
∴△OBE∽△ODB
∴OB:OD=OE:OB (相似三角形的对应边成比例);
由BE=CE,OA=OB,
得OE为△ABC的中位线,
即OE=AC=1,
∴OB:6=1:OB 得OB=± (舍负)
∴⊙O的半径为.
解析分析:(1)连接OC.欲证CD是⊙O的切线,只需证明OC⊥CD即可;
(2)连接BC交OD于E,先证明△OBE∽△ODB或△ABC∽△ODB,再根据相似三角形的性质及中位线的性质,即可求出⊙O的半径.
点评:本题考查了切线的判定与性质.在解答(2)时,注意三角形中位线定义的运用.
已知:如图 AB为⊙O的直径 弦AC∥OD BD切⊙O于B 连接CD (1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若AC=2 OD=6 求⊙O的半径.