【题记】
中医之路由博而简，由杂而精，由繁而专，勤于一艺，临床参悟，积数年可达于上工圣手，切毋矜所能，饰所不能，毋嫉人能，形所不能，勤求古训，持之以恒，必成器。——电视剧《老中医》
学医而不读《黄帝内经》之《灵枢》《素问》，则不明经络，无以知治病之由；不读《伤寒论》《金匮要略》，无以知治方之法，则无从施治；不读《本草纲目》，无以知花之性，而得药之性，再尽人之性，终可去疾除病。——电视剧《老中医》
《小学数学教师》第2期封面人物是江苏苏州缪建平老师，该期以《培养“儿童数学家”》为主题推介缪老师的教学理念与实践做法。今天是第四篇《盘活资源，循序渐进，教学相长：“羊吃草问题”教学的一路探寻》。
第一篇的链接：培养“儿童数学家”之推介语——《小学数学教师》封面人物专题之一
第二篇的链接：在“好奇”中求知，在“探究”中成长：培养“儿童数学家”的“五四三工程”——《小学数学教师》封面人物专题之二
第三篇的链接：生变，聚变，裂变：以引导学生探究“把一张长方形纸折出”为例——《小学数学教师》封面人物专题之三
【正文】
“羊吃草问题”的探究学习活动是在学生学习完圆的面积（包括扇形面积）之后进行教学的。这里的“羊吃草问题”与现行奥数书常讲的“牛吃草问题”不是一个学习内容。
工作初期，笔者就开始关注这一话题，经过多年的探索与实践，逐步形成了系列化研究。
一
记得第一次把“羊吃草问题”加入课堂教学中，还是工作的第一年，看到教学资料上有这样一道题：
一片大块的青草地，一只羊拴在羊桩上吃草，羊绳长5米，羊能吃到的最大草地面积是多少平方米？（不考虑羊绳会缠绕的情况）
当时的直觉告诉我，这道题十分接近农村孩子们的生活实际，又与新学的圆面积知识紧密联系，于是就把它放入课堂练习环节中。真没想到，孩子们十分感兴趣，在兴致勃勃的练习中巩固了所学的知识。
二
在学习了“扇形面积”之后，我又加入了新的元素，于是出现了下面的令我难忘的教学片断——
师：（幻灯出示问题）这道题怎样解答？
生：羊拴在桩上，吃到的面积是最大时是一个圆的面积，半径就是绳长。列式是：3.14×52＝78.5平方米。
师：你回答不错。但是，有没有其它情况呢？
生：刚才×××只是解答了把羊拴在离院墙5米以外时的情况。如果拴羊桩在5米以内，就不能这样解答了。
师：你真会动脑筋。现在请同位的同学讨论一下，如果拴羊桩在5米以内，有哪几种情况呢？（学生热烈讨论了数分钟）现在请大家回答。
生：把羊拴在一长院墙脚下，吃到的草就是一个1800的扇形面积。列式是：3.14×52×1/2。 （老师出示灯片，并肯定学生的回答。）
生：如果正好拴在外墙角， 则羊吃到的面积正好是2700的扇形面积，列式是：3.14×52×3/4。 （老师出示灯片，又肯定学生的回答。）
生：老师如果羊拴离院墙3米的地方，怎样算出羊吃到的面积呢？
师：（出示这种情况的灯片）这种情况也能算出羊吃的面积，但计算比较复杂。到了初中，你们就会学到有关计算的公式了。现在我请一个同学来总结一下这道题出现的几种情况。
“学生的思维从疑问和惊奇开始”。在这个教学案例中，我采用“以新带旧，纵横联系”的教学方式，精选了一个日常生活中的趣味问题，精心设疑，让学生运用所学的知识，通过讨论，发散思维，终于解疑。
“重复是学习之母”。根据教育心理学有关“遗忘先快后慢、巩固要在将要遗忘时进行”的遗忘规律，复习必须及时、适时。本复习安排在“圆的面积”学习一周后、“扇形面积”刚刚学习结束时进行，时机恰当，这样既巩固了新近学的扇形面积，又复习了一周前学的圆的面积，知识融会贯通，相得益彰，学生所学知识印象深刻。
这一段教学案例被写入《减少小学生几何初步知识遗忘率的教学探讨》一文，发表于1991年第11期《陕西教育》上，后被收录中国人民大学复印报刊资料《小学各科教学》1992年第1期。
三
上述两个案例的教学，也证明了“羊吃草问题”的有让学生展开探究学习的空间，于是，我决定把这一问题继续引伸拓展，让它更加“枝繁叶茂”。
记得是新课程改革的第二年，2002年4月，苏州。教学前，我为孩子们准备了火柴梗（用来代表羊桩）、铅丝（用来代表羊绳）、方盒子（代表院墙）。也许是城市的孩子们对农村题材的内容不感兴趣，或是因为提供的操作器具不合适，孩子们在课堂上把铅丝弄来弄去，并没有很好地理解题意，动手操作没有发挥我预想的作用。当时，动画课件正在流行，于是，在信息老师的帮助下，笔者设计了“羊吃草”互动的课件，并让学生分小组进行探究。
教学片断：
青青家养了一只大山羊。这一天，她把山羊拴在边长6米的正方形院墙下吃草，已知羊绳长2米，那么羊能吃到的面积是多少平方米？（如下图，每个号码之间的间隔是1米）
（1）如图，把羊拴在院墙的正中央（即③号位置），这时羊吃到草的面积是多少平方米？
[因为羊吃到的面积是一个半圆形，所以羊吃到草的面积是：π×22÷2＝2π＝6.28（平方米）。羊桩在②号和④号位位置时，吃到的面积与③号位是一样的。]
（2）如图，如果把羊桩向左（右）边挪动3米，羊吃到的面积又是多少平方米呢？（即羊桩在上图的0号和⑥号位置）
[移动3米，正好在外院墙角的位置。这个问题上面已经讨论过了，也容易算出羊吃到的草的面积是：π×22÷4×3＝3π＝9.42（平方米）。0号和⑥号位置，羊吃到的面积是一样的。]
（3）如图，如果把羊桩向左（右）边挪动2米，羊吃到的面积又是多少平方米呢？（即羊桩在上图的①号和⑤号位置）
[羊除了原来吃到的半径是2米的半圆面积外，还能拐过墙角另一边吃到一部分草，它是一个半径是1米的90度的扇形面积。这样，羊能吃到的草的总面积就是：6.28＋3.14×12÷4＝7.065（平方米）。羊桩在图中①和⑤号位置吃到草的面积是一样。]
之后的一段时间，“羊吃草问题”已成为学校数学组争相教给学生的一堂有趣而好玩的课，各种衍生版本与拓展好题也应运而生，就连孩子们也加入了编题、出题的队伍！
在下面的介绍中，教学具体过程略过，只保留变式的探究问题。
【变式题一】哇，原来羊吃到了一只“大苹果” ！
青青家养了一只大山羊。这一天，她把山羊拴在边长3米的正三角形院墙下吃草。羊被拴在等边三角形建筑物的一个墙角上（见下图黑点处），绳长是4米。那么，求羊所能吃到的青草的面积是多少平方米？
经过同学们的探究，最后发现，羊吃到的草的面积如下图所示，应该是一个半径3米的3000扇形面积，加上两个半径1米的1200的扇形面积。
同学们通过探究，结果如下：
羊吃到的面积=32π×
+12π×
×2=
π（平方米）
算着算着，有一个同学们惊讶地叫起来说：“老师，你看，羊吃到的面积很像一个苹果呢！”于是大家一起欢欣跳跃，太好玩了！太好玩了！羊吃了一个“大苹果”！
【变式题二】羊吃到了更大的“苹果”
如下图，还是那个边长6米的正方形院墙。但是不同的是，院墙外四周全是足够大的草地，羊仍然拴在如下图一院墙正中央吃草，但绳长增加到12米。这时，山羊可吃到的草的面积是多少平方米呢？
同学们以小组为单位自行探究。因为情况比较复杂，有的同学还在纸上画出的草图。
羊吃草时，先以半径12米吃了个半圆，接着以半径9米吃了两个面积相等的对称的扇形，最后又以半径3米再吃到两个对称的小扇形面积。
这样，山羊的活动范围可以分割成5个部分：半径为12米半圆1个，在小房子南面；半径为9米的四分之一圆（因为这里的绳长被院墙“挡”去了3米），在小房子的东面和西面各有一块；半径为3米的四分之一圆，有小房子的北面左右各有一块。
如果用π表示圆周率，那么山羊活动区域内的草地面积就是：
吃草面积＝π×122÷2＋π×92÷4×2＋π×32÷4×2＝117π（平方米）
当然，山羊能吃到这么大面积的草，拴它的绳子一定不能发生缠绕现象才行。
同学们再次发现，山羊吃到的草的面积又是一个面积更大的“苹果”了！
【变式题三】如果不拴在正中央，如果不是正方形院墙又如何呢？
以上是一个同学在课堂探究过程中的发问，使其他同学得到了启示，于是又有同学琢磨出了下列新的探究问题：
草场上有长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见下图）。问：这只羊能够吃到的面积是多少平方米？（当然，我们继续假设外面的草场足够大得羊可以在绳长的范围内随便吃，而且羊绳不会缠绕。）
同学们的探究如下图所示，羊吃草的面积可以分为A、B、C三部分，其中A是半径为30米的个圆，B、C分别是半径为20米和10米的
个圆。
所以羊吃到的草的面积是：
π×302×
＋π×202×
＋π×102×
＝π×（302×
＋202×
＋102×
）
＝π×（675＋100＋25）＝800π（平方米）
【变式题四】羊吃掉了一个“操场” ！
林伯伯承包了一座荒山，经过两年的劳动，山坡上一片片长方形的林地上，已长出了葱翠的幼林。每个长方形林地的周边都留下宽10米的防火带，防火带上是一片绿油油的青草。
林伯伯养了一只羊。一天，他拿着一条20米长的绳子，对孙女青青说：“你想个办法，把羊限制在防火带上吃草，使它吃到草的面积最大，又不损害幼林。
青青想，要求羊吃草的最大面积，这可又是一道求面积的问题。
青青在地上画了画，想了想：宽只有10米，拴羊的绳子最长只能用5米，把拴羊的木桩钉在防火带的中间，羊能吃到的草的面积是个半径5米的圆的面积。可是一想，那剩下的15米的绳子有什么用呢？
爱动脑筋的静静经过一番思索、尝试，终于高兴地对爷爷说：我想出来了。她把自己的想法告诉爷爷，爷爷夸奖她能运用学过的数学知识灵活解决生活中的实际问题。
青青是这样想的：把绳子分成两段，一段是15米，将15米这段绳子两端系在两个木桩上，拉直15米的绳子，把两个木桩钉在防火带的中间。另一段长5米，5米绳子的一端拴住羊，另一端系着一个小铁环，然后把铁环套在固定好的15米的绳子上。这样羊吃草时，就可以在15米的绳子来回滑动。那么，羊吃草的最大面积（如下图）是一个长方形的面积和两边的两个半圆面积的和。
如果每处接头的长度忽略不计，那么羊吃草的最大面积是：
10×15 + 52π=228.5（平方米）。
细心同学们又发现了：羊吃到的面积很像一个操场的样子呢！
四
弹指一挥间，30年的时空跨越，30年的一路探寻。
就这样，从农村到城市，从青年教师到名优教师，“羊吃草问题”滋润着一拨拨学生的数学学习，也让我和小伙伴们看到了学生像数学家一样思考问题、解决问题的潜力。
盘活资源 循序渐进 教学相长：“羊吃草问题”教学的一路探寻——《小学数学教师》封面人物专题之四
