前段时间，博雅小学堂邀请首都师范大学的王永晖教授做了一场线下的讲座。本来预计2个小时的讲座，王教授持续了6个小时。我们相信，这次讲座一定会给家长一些思考，并慢慢沉积，形成对自己孩子最有利的东西。
今天的文章，是按照我们的理解对此次讲座进行的整理。文末将附上此次讲座实录，希望对各位家长有帮助。
王永晖 1998年山东大学数学系博士毕业，首都师范大学数学系教授博士生导师，基础数学专业解析数论与自守表示方向，国家自然科学基金主持人，973项目科技骨干。
王永晖：虽然我自己可能不算优秀，但是我接触了很多真正优秀的人，我相信现在大部分关心教育的家长也非常优秀，所以知道优秀应该是什么样子。所以我们在探索孩子教育方面就知道要往好的方向引导。但是家长们可能对某一科学领域不是特别了解，所以在引领孩子时无所适从。我希望可以给大家提供一些思路，至少让孩子不要被带歪教笨。
01
给孩子探索数学的时间
王教授的同事兼好友李克正教授曾经表示，如果一个人数数这一关没有过好，那么他将注定是个数学盲。虽然这句话可能有些过于偏激，但王教授也赞同，要给孩子足够的时间学习数数。据观察，一个孩子真正学会数数，至少要经过两年，这个学会，不是背诵、记忆，是真的激发了数学的思考学会的。
王教授的儿子上一年级时，提出了一个问题，世界上最大的数是多少？他认为这是一个非常好的问题，有的家长会说，无穷大，但是无穷大并不是一个数。真正的答案是，没有。因为假如有一个最大的数，那么加一，就不是最大了。如果直接告诉孩子，一分钟就够了，但他们花了2年时间来解决这个问题。王教授认为，这个过程中，孩子不断地思考总结推翻，那么收获的，绝不只是一个答案那么简单。
有家长说，她的孩子6岁，问了一个问题，6个9乘以5个9是多少？在没有教乘法口诀这些之前，怎么解决呢？王教授认为，完全可以交给孩子自己去解决，也许两年还没有得到正确答案，但是这个过程的滋养，对孩子非常重要。
王教授的儿子6岁时，会计算10以内的加法了，有一次让他计算90+20，父子俩坐在波兰一个城堡门口，孩子用数手指的办法算了2个小时，父亲就陪了两个小时，教授说：当然这里有一个物质诱惑，因为他很希望买一把城堡里卖的弓箭，我说做出这个就可以。孩子真的就坚持了两个小时，最后解决了问题。（小编按：所以父母的陪伴和鼓励就显得格外重要，无论是解决最大数的问题，还是6个9乘以5个9，我想，绝不只是让孩子在那里枯坐干想，父母的耐心和陪伴和稍加引导都是必不可少的因素。）
02
家庭规则与逻辑关系
博雅小学堂转发过王教授的一篇博文《幼小数学教育的真功夫》，文中提到了家庭规则对于低幼儿童建立逻辑关系的重要性。大家可以想象一下，一个家庭规则混乱的家庭，孩子的逻辑关系通常也是混乱的。
基于此，王教授做一个矩阵：
最后发现，其实只有一种情况是合理的，也就是只有四分之一。这既是数学，也是道德。
那么其实，可以把这个矩阵改一下：
这种情况下，合理的情况增加了，变成了九分之四。
03
概念引入
数学中的有些概念，是孩子不可能靠自己研究出来的，比如十进制。假如我们生活在一个六指人的社会，没准我们就是12进制。所以数学的一些基本概念，是需要教给孩子的，比如数学符号、十进制、减法就是加法的逆运算、除法就是乘法的逆运算。
王教授说：在陪儿子学习数数的过程中，一路从幼儿园走回家，就会捡石子，在这点上，我赞同华德福的看法，充分的利用自然中的东西，而不是蒙氏的没有生命的教具。每数十个小石子，就会用一颗中石子代替，继续数，知道有十颗中石子，就用一颗大石子代替。这个过程反复进行，孩子慢慢就理解了十进制。
04
用身体学数学
在学习数学的过程中，利用我们的身体是非常有益的尝试。比如拍手数数；比如小孩子小时候上楼梯，家长一边上一边数楼梯数；比如小朋友刚开始学加法会数手指，都是非常好的例子。
王教授在他筹建的小教室还使用了另一个方法，捏手。小朋友手交叉，另一个人先在他左手捏7下，再在右手捏8下，小朋友就马上知道下一个数是9。大人反倒会有点迷糊。
我们知道，学习过程中更多的用到了我们的视觉和听觉，那么用身体学习，就又调动了触觉。大脑得到更多的刺激，教授认为这一定是有益无害的。
05
日常练习
有了概念引入和学习，余下的日常练习就变得很重要。这个日常练习也许很简单，耗时也很短，但是这就像浇灌小树苗，每天一杯水，才可以让小树苗茁壮成长。
王教授建议的日常练习主要有两个，一个是背诵九九乘法表，一个是做百格计算。人的大脑是有不同的分区和职责的。这两个简单的练习会刺激到我们大脑的数学区域，持续做这两个看似简单的工作，每天大概就10到20分钟，比解决奥数问题带来的刺激还要有效。
背诵九九乘法表需要注意，是不是真的刺激到了数学区域，而不要变成机械的背诵，变成了背古诗。有一个方法可以验证，就是突然提出一个除法，低年级就可以提一个整除的问题，学了有余除法，可以提个复杂点的，比如14除以4。如果当时愣住了，大概就停在单纯的背诵了。
百格计算，是日本人阴山英男提倡的方法。示例：
与平时的口算练习稍有不同的是，在找到对应格子的过程中，训练了视觉。但是如果孩子的学校已经很重视口算了，已经有类似的训练，那么就不需要再额外进行了。
做百格计算，可以家长自己打印好空白的格子，孩子自己填数字。填数字的过程还可以有另一个方法：就是比如第一个格子填了12，后面每个格子的个位顺势+3，十位顺势-3。
因为3与10互逆，这样得到的数字随机性最大。
如果做乘法的百格，教授认为做到两位数乘以一位数就够了。这个练习，他建议持续3年。
06
概念反刍
有了概念引入，日常练习，还需要有个概念反刍的过程。
目前有一套很好的关于数学的书《汉声数学》。王教授建议的阅读方式，是家长自己看懂，然后慢慢地讲给孩子，也许用一个月甚至更长时间讨论完一本书的内容，而不是马上给孩子看书，半个小时孩子就知道了答案。
而另一个用法，是高年级的孩子，用来做概念反刍。他已经都学过了，回过头来再看，也许理解和认识又都有了不同。
关于概念反刍，小教室有个例子，在孩子3年级时做了一道题：200+300为什么等于500？
有些孩子就会重复老师的教法，2+3=5，后面再加上两个0。这只是计算方法，而不是概念，不能解释为什么。
有的孩子会想到，2个100+3个100=5个100。但是“个”不是一个数学符号。一个数学公式中，只能出现数学符号。
最后孩子们跟老师一起得到：
2*100+3*100
=（2+3）*100
=5*100
这个过程，就是一个概念反刍的过程。
07
小教室的实践
最后王教授给大家提供了一些在小教室做过的实践，有些也许并没有得到验证，但教授认为这些实践是有益的。
1矩阵
首先是前面说的规则或者说是道德矩阵。
还有一个问题问孩子：左手在上，平，下，有三个位置，右手也有三个位置，那么两个手同时举，会有几种位置组合？大部分孩子一开始会回答6种。可以让孩子反复去摸索琢磨这个问题。
因为小教室的孩子同时学数学、武术和书法，实践中发现，武术也藏着数学。比如五花炮（一种拳法），拳法就两种劈拳和冲拳，加上前手和后手，就演变成4个动作。
书法里，分先横笔，后横笔，先竖笔，后竖笔，也演变成4个笔法。小教室的书法老师聂老师认为，书法的所有内涵都包含在这4种笔法中。
借鉴华德福的形线画，小教室也做了跟数学相关的尝试（华德福的形线画虽然归类在数学中，但是，更偏重艺术，与数学无关，虽然有对称，但是只是一点几何范畴，王教授认为华德福在数学教学上是非常不严谨的）。
先向外，先向内，后向外，后向内，又是4种图形。而这4种又可以继续演变（上面交叉、封顶，分出4种，下面同理分出4种），变成64种。
第五个，是甩胳膊。一只胳膊向前，向后。看似就两种，如果加上手掌的变化，手心向下，手心向上，手刃向下，手刃向上。那就是8种。而且，在胳膊甩动过程中，一定要有肩部的变化，否则是不能画圆的（小编认为，以上结合了道德、武术、书法、画图、身体，孩子们不断地感受数字的组合变化。）
2运算
加法的练习时，在孩子会用手指计算类似7+8以后，可以让他试试用手指计算37+8。并且开始进入整十的计算。目前的数学教材，包括美国的数学教材都是10以内加法学会后紧跟着20以内加法的学习。但王教授认为，十以内加法掌握后，应该进入整十的计算，再回头学习20以内的加法就迎刃而解。
减法的练习时，首先要给孩子一个概念，减法是加法的逆运算。现在大部分老师不会告诉孩子这个概念。另一个我们会发现，孩子在做减法时，会有很多自己的小方法，比如凑数的方法，王教授认为应该鼓励孩子有这种不同的计算过程，这说明他们在数学上有灵气。
乘法的学习时，因为小教室一个孩子的问题，王教授和小教室的孩子们花了2年的时候搞懂了次方。
1+1=2=21
2+2=4=22
4+4=8=23
8+8=16=24
……
王教授认为，这组式子一直写下去，是非常有美感的。这个学习过程，在小教室的博文里有详细的介绍。
不过孩子们一直对20=1有疑惑，认为20=0。王教授的解释是，如果真的20=0，那么这个世界就不存在了。因为：
20*2m=20+m=2m，如果20=0，那么2m=0，这显然是不成立的。
所以我们也可以从20*2m=20+m=2m推出20=1
有家长问到分数的学习，正好前一段王教授的儿子提了一个问题，世界上的数是不是都可以除尽？他的这个问题引出了小教室现在做的一个功课，哪些数字可以被11整除。这两个问题目前都还在解决过程中。
分数其实就是一个饼切成几块。进行分数学习可以按节奏给出几个问题：
第一个：1/2+1/4=
第二个：1/2+1/3=
第三个：1/77+1/33=
前面概念反刍提到200+300=500，这里还隐含了另一个问题，为什么2+3=5？这个问题有点难，Fields奖得主Bombieri给小孩子写了篇数学科普，十几页的文章，其实说的就是这个问题。
解决这个问题首要是给数字定义：
1=1是固定的
2=1+1
那么3呢？3=1+1+1，有孩子就会提出，那右边不还是3个？用3定义3，这不合理。
所以3=2+1
4=3+1
5=4+1
这个过程，在小教室的博客中有记录。
以上就是王教授自己的一些对幼小数学学习的思考和实践。这也是他为什么反对大家到商业机构学习奥数的原因。那种学习过程，剥夺了孩子思考的权利，甚至有些很聪明的孩子，也只能听懂一半，当然也有天才的孩子完全不存在问题。他的同事李克正教授曾经给奥数竞赛出了一道扔色子的题目，当年，全国那么多聪明孩子，只有一个做对了，李教授至今对那孩子印象深刻。但是这道题，现在出现在3、4年级奥数班里，而且是一节课5道题中的一道。
而目前公立学校的教法，也常常把孩子带歪，那么就只好靠家长自己，先有一个对数学的正确认识，然后给孩子一些有益的引领。同时，家长自己也要自信，要相信孩子可以做到。方法上也不是非黑即白，家长首先不要焦虑，不用纠结过多细节性的问题。
