已知函数f（x）=x+（1-a）/x﹣alnx，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数；
（Ⅱ）如果区间[1，e]（e=2.71828…）上总存在一点x0，
使x0+1/x0＜a（lnx0+1/x0）成立，求a的取值范围．
解：（Ⅰ）f（x）=x+（1-a）/x﹣alnx，定义域为（0，+∞），
f′（x）=1﹣（1-a）/x2﹣a/x
=[x2-ax-（1-a）]/x2
=（x-1）[x-（a-1）]/x2，
①当0＜a﹣1＜1，即1＜a＜2时，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x＜a﹣1，
令f′（x）＜0，解得：a﹣1＜x＜1，
f（x）在（0，a﹣1）递增，
在（a﹣1，1）递减，
在（1，+∞）递增，
∴f（x）有2个极值点；
②a﹣1=1即a=2时，f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）递增，
∴f（x）没有极值点；
③a﹣1＞1即a＞2时，令f′（x）＞0，
解得：x＞a﹣1或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜a﹣1，
f（x）在（0，1）递增，
在（1，a﹣1）递减，
在（a﹣1，+∞）递增，
∴f（x）有2个极值点
④当a﹣1≤0，即a≤1时，令f′（x）＞0，
解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）有1个极值点；
综上：当1＜a＜2，或a＞2时，
f（x）有2个极值点，
当a≤1时f（x）有1个最小值点；a=2时f（x）没有极值点；
（Ⅱ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，
使x0+1/x0＜a（lnx0+1/x0）成立，
即在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0，
即函数f（x）在[1，e]上的最小值[f（x）]min＜0，
①当a﹣1≥e，即a≥e+1时，
h（x）在[1，e]上单调递减，
∴[f（x）]min=f（e）=e+（1-a）/e﹣a＜0，
∴a＞（e2+1）/（e+1），
∵（e2+1）/（e+1）＜e+1，
此时存在x0使f（x0）＜0成立；
②当a﹣1≤1，即a≤2时，f（x）在[1，e]上单调递增，
∴[f（x）]min=f（1）=1+1﹣a≤0，
∴a≥2，故a=2
③当1＜a﹣1＜e，即2＜a＜e+1时，
∴[f（x）]min=f（a﹣1）=a﹣2﹣aln（a﹣1）＜0，
∵0＜ln（a﹣1）＜1，
∴0＜aln（a﹣1）＜a，
∴0＜f（a﹣1）＜a﹣2，
此时存在x0使f（x0）＜0成立．
综上可得所求a的范围是：a≥2．
考点分析：
利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
题干分析：
（Ⅰ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间，从而求出极值点的个数；
（Ⅱ）转化已知条件为函数h（x）在[1，e]上的最小值[h（x）]min＜0，利用第（1）问的结果，通过①a≤e﹣1时，②a≥0时，③1﹣e＜a＜0时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围．
