1.3.1条件概率
假设男生和女生各50人,有30名男生吃到了月饼,10名女生吃到了月饼。在吃到月饼的人中男生的概率:30/40
定义:Ω为样本空间A,B为两个事件
P(B)>0在B已经发生的情况下A发生的概率叫做A对B的条件概率记作P(A|B)
P(A)叫做无条件概率,它的样本空间是Ω
而P(A|B)是以B为样本空间
(1)P(A|B)=nAB/nB
(2)P(A|B)=P(AB)/P(B)
例题:有编号1~6的几个球
事件B是取到的球是偶数,事件A1是取到的球编号为1,事件A2是取到的球编号为2,事件A3是取到的球编号大于4
(1)P(A1)=1/6
(2)P(A1|B)=0(因为样本空间为B,也就是可能取到的球的编号为2,4,6而事件A1为可以取到的球的编号为1,所以事件P(A1|B)的概率为0)
(3)P(A2)=1/6
(4)P(A2|B)=1/3
(5)P(A3)=1/3
(6)P(A3|B)=1/3
满足公理:
P(A|B)>=0P(Ω|B)=1A1,A2,A3……不相容,P(∑Ai|B)=∑P(Ai|B)
经过推断可以获得公式:
P(AB)=P(B)P(A|B)
P(AB)=P(A)P(A|B)
1.3.2乘法公式
当P(A)>0并且P(B)>0时
P(AB)=P(B)P(A|B)
P(AB)=P(A)P(A|B)
P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)
例3:共有产品100件,次品率为10%,现在从这些产品里不放回取三次,求第三次才取到合格品的概率
解:A1,A2,A3分别表示1,2,3次取合格品。
P(A1逆A2逆A3)=P(A1逆)P(A2逆|A1逆)P(A3|A1逆A2逆)=10/100×9/99+90/98=0.00835
(解析:第三次才取到合格品说明前两次都是不合格的产品,所以第一次一共100件产品从10件不合格产品中拿走一个所以是10/100,因为一已经取走了1件产品所以还剩99件产品,并且第一次取走了一个次品还剩9件次品,第二次也要拿走次品所以为9/99,而最后一个是要在98件产品中从其中的90件合格产品选出一个所以是90/98)
例1:甲厂生产的灯泡占60%乙厂生产的灯泡占40%,甲厂的合格率为90%,乙厂的合格率为80%(1)甲厂生产并且是合格的概率为多少?(2)乙厂生产的并且是合格的概率为多大
解:设事件A为甲厂生产的,事件B为灯泡合格。那么A逆就是乙厂生产的,B逆就是不合格的。
(1)P(AB)=P(A)P(B|A)=0.6×0.9=0.54
(2)P(A逆B)=P(A逆)P(B|A逆)=0.4×0.8=0.32
例2:有10个签,其中有四个难签,甲乙丙三人按顺序抽,不放回。(1)甲抽到难签的概率(2)甲和乙都是难签的概率(3)甲容易乙难的概率(3)三个人都抽到难签的概率
解:设事件A,B,C分别表示甲乙丙抽到的签为难签。
(1)P(A)=4/10
(2)P(AB)=P(A)P(B|A)=4/10×3/9
(3)P(A逆B)=P(A逆)P(B|A逆)=6/10×4/9
(4)P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=4/10×3/9×2/8
例4:传染病模型,有a个红球b个黑球,每次取一个球然后放入c个颜色相同的球。(求三次都是红球的概率)
解:设事件A1,A2,A3分别表示第一二三次摸到红球。
P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
=a/(a+b)×a+c/(a+b+c)×(a+2c)/a+b+2c
当c=0时相当于放回
当c=-1时相当于不放回
当c>0时即为传染病模型
本文章是宋浩老师的概率论与数理统计课程的笔记,为p11-p12内容所对应的笔记
视频链接:1.3.1 条件概率【板书】_哔哩哔哩_bilibili
视频链接:1.3.2 乘法公式【板书】_哔哩哔哩_bilibili