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一元二次函数的表达式一般式顶点式 一元二次函数的图像1. 描点法2. 公式法描点法与公式法的比较 课后练习本堂小结一元二次函数的表达式
一般式
y = ax2+bx+c (a≠0)
为何 a≠0 ?(反推法)
∵ a=0
∴ y=bx+c,当b≠0,此为一元一次函数。
当b=0,此为常数函数。
可得:a≠0
提问学生一元一次函数的表达式,并在表达式上做出比较,巩固所学
一元二次函数:y = ax2+bx+c (a≠0)
一元一次函数:y = ax+b(a≠0)
顶点式
暂且跳过,之后提及
一元二次函数的图像
直的,弯的 … 此时的我们并不了解这个陌生人,那么如何揭开它神秘的面纱,请描点法为我们揭秘
1. 描点法
描点法,顾名思义,先描点再画图。废话不多说,咱直接举例说明
eg:y=x2
取不同的 x 的值,算出相应的 y 值将上述的点涂在坐标系中,并将其连接,便得到了 y=x2 的图像
同理,接下来让学生用此方法画出以下一元二次函数的图像: y= -x2 、 y= x2+1、y= -x2+1、 y= x2+x+1、 y= -x2+x+1
问:还记得一元一次函数的图像是什么吗?
问:那想要画一个一元一次函数的图像至少需要几个点呢?
问:观察咱们刚刚画过的一元二次函数的图像,他们有什么特点?
曲线,对称 ,一会开口向上,一会开口向下…
问:既然对称,那么你们可不可以画出以上所有图像的对称轴呢?
问:观察你们画出的对称轴,他们有什么规律?
垂直 x 轴并穿过 顶点的直线
问:什么时候开口向上,什么时候开口向下呢?
观察之前画过的图像,看出规律: a>0 ,开口向上。 a<0 ,开口向下
问:那想要画一个一元二次函数的图像至少需要几个点呢?
问:那你觉得这些点与其他点有什么不一样的呢?
这些点大多是 顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点
从讨论中得到结论,想要画出一个一元二次函数的图像,最重要的点有:顶点、与 x 轴的交点、与 y 轴的交点。如果我们可以快速得到这几个点的坐标,就可以不用繁琐的描点法了?那么如何快速得到这几个点的坐标呢?请看接下来的大救星之公式法
在介绍公式法之前先插播一个知识点,之后的推导会用到
顶点式:y = a(x-h)2 + k (a≠0)
怎么得来的?
由最基本的一元二次函数 y=ax2 左右上下平移得到,举出例子:
① y=(x-2)2+1:由 y=x2 右移两个单位,上移动一个单位得到
② y=(x+2)2-1:由 y=x2 左移两个单位,下移动一个单位得到
既然是顶点式,那么顶点的坐标是什么?
观察 ① 的图像可知顶点为(2,1)
观察 ② 的图像可知顶点为(-2,-1)
由此,可看出顶点坐标为(h,k)
2. 公式法
公式法,顾名思义,用公式得到特殊点的坐标,再作图。
① 顶点:(-b/2a, (4ac-b²)/4a)
公式的推导 (配方法,详讲)
② 与 x 轴的交点:使 ax2+bx+c=0,求解(这里可提问,帮助学生复习)
问:△ 是什么?
问:△ 等于什么?
问:△ 的作用是什么?
问:△ 的值有几种情况,每种情况分别代表什么?
问:求根公式是什么?
问:除了用求根公式,还可以用什么?(回忆十字相乘法 )
③ 与 y 轴的交点:(0,bx+c)
描点法与公式法的比较
描点法虽然在思路上较为简单,但是在找点的时候,需要一定的技巧性,并不好把握。有可能找了二十个点、三十个点、四十个点 … 都没画出来,结局只能是费力不讨好,所以了解就好,不必深究。更多的注意力应放于公式法,即熟练的掌握公式,快速算出特殊点的坐标