数学模型课程期末复习提纲（上）

MathModeling(Ⅰ)

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第一章：数学建模概论

数学模型可以描述为：对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的，根据其特有的内在规律，做出一些必要打的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模是指建立数学模型的全过程，包括表述、求解、解释、检验等。数学建模的基本步骤就是解决一个实际问题的步骤，主要包括下面几点：模型准备、问题分析、模型假设、模型建立、模型求解、模型检验。

第二章：数学建模软件

Matlab\text{Matlab}Matlab 简介

三维绘图：

plot3(x,y,z)x=x1:dx:x2;y=y1;dy;y2; %自变量x和y的取值范围和间隔[X,Y]=meshgrid(x,y)%生成格点矩阵Z=f(X,Y)%计算格点上的函数值mesh(X,Y,Z) %绘制网格图surf(X,Y,Z) %绘制曲面图

数值计算—高数篇

%求极限limit(f,x,a),limit(f,x,a,'left'),limit(f,x,a,'right')%求导diff(f,x,n)%求极值fminbnd,fminunc,fminsearch%求符号积分int(f,x),int(f,x,a,b)%求数值积分quad(f,a,b),quad1(f,a,b),quad2d(f,a,b,c,d)%高精度数值积分vpaintegral(f,a,b)%Talyor级数展开taylor(f,x,a,'Order',n)%Fourier级数计算展开fseries(f,x,n,a,b)%求级数symsum(f,k,m,n)%解代数方程（组）solve,fsolve%解微分方程（组）dsolve,ode45,ode15s

数值计算—线代篇

%矩阵的行列式det(A)%矩阵的逆inv(A)%矩阵的秩rank(A)%初等行变换rref(A)%因式分解factor(D)%基础解系null(A),null(A,'r')%特征值与特征向量[V,d]=eig(A)

数值计算—概率篇

%随机数rand,name+rnd(paras,m,n),randsample/randsrc,crnd%概率密度函数name+pdf(x,paras)%分布函数name+cdf(x,paras)%逆分布函数name+icdf(x,paras)%数字特征mean,median,geomean,mode,var,std,range,skewness(偏度)，kurtosis(峰度),moment,OriginMoment,cov,corrcoef%频率直方图tabulate,ecdfhist,ksdensity%箱线图boxplot(X,notch,'sym',vert,whis)%参数估计name+fit(x,alpha),name+like(x,alpha)%假设检验ztest,ttest,ttest2,vartest,vartest2

Lingo\text{Lingo}Lingo 简介

具体代码放在线性规划以及非线性规划里。

~~

第三章：优化算法

线性规划与非线性规划

线性规划问题相关定义与标准型：

(若使用Matlab\text{Matlab}Matlab,需使用函数linprog()\text{linprog()}linprog())

可行解：满足约束条件的解

可行域：所有可行解构成的集合

最优解：使得目标函数达到最小值的可行解

标准形式如下所示：

min⁡z=∑i=1ncjxjs.t.∑i=1naijxj≤bj,i=1,⋯,m\min z=\sum_{i=1}^nc_jx_j\\ \text{s.t.}\sum_{i=1}^na_{ij}x_j\leq b_j,~i=1,\cdots,m minz=i=1∑n​cj​xj​s.t.i=1∑n​aij​xj​≤bj​,i=1,⋯,m

例：求解下列线性规划问题

max⁡z=2x1+x2−x3s.t.{x1+x2+2x3=6x1+4x2−x3≤42x1−2x2+x3≤12x1≥0,x2≥0,x3≥0\max z=2x_1+x_2-x_3\\ \text{s.t.}\begin{cases} x_1+x_2+2x_3=6\\ x_1+4x_2-x_3\leq4\\ 2x_1-2x_2+x_3\leq12\\ x1\geq0,x_2\geq0,x_3\geq0 \end{cases} maxz=2x1​+x2​−x3​s.t.⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​x1​+x2​+2x3​=6x1​+4x2​−x3​≤42x1​−2x2​+x3​≤12x1≥0,x2​≥0,x3​≥0​

解：对应 Lingo\text{Lingo}Lingo 代码如下所示：

model:max=2*x1+x2-x3;x1+x2+2*x3=6;x1+4*x2-x3<=4;2*x1-2*x2+x3<12;end

非线性规划问题相关定义与代码

定义：若规划为提的目标函数或约束条件中包含非线性函数，则称为非线性规划（简记为NLP\text{NLP}NLP）。非线性规划的最优解（若存在）可能在其可行域的任一点达到，目前非线性规划还没有合适各种问题的一般解法，各种方法都有其待定的使用范围。

​例：求解下列非线性规划问题

min⁡f(x)=x12+x22+8s.t.{x12−x2≥0x1+x22=2;x1≥0,x2≥0\min f(x)=x_1^2+x_2^2+8\\ \text{s.t.}\begin{cases} x_1^2-x_2\geq0\\ x_1+x_2^2=2;\\ x1\geq0,x_2\geq0 \end{cases} minf(x)=x12​+x22​+8s.t.⎩⎪⎨⎪⎧​x12​−x2​≥0x1​+x22​=2;x1≥0,x2​≥0​

​ 解：对应 Lingo\text{Lingo}Lingo 代码如下所示：

model:min=x1^2+x2^2+8;x1^2-x2>=0;x1+x2^2=2;end

无约束条件的非线性规划

​ 标准形式为：

min⁡xf(x)s.t.x1≤x≤x2\min_x f(x)\\ \text{s.t.}x_1\leq x \leq x_2 xmin​f(x)s.t.x1​≤x≤x2​

​例：求解下列函数的极小值

min⁡y=1∣x∣s.t.−3≤x≤1\min y=\frac{1}{|x|}\\ \text{s.t.}-3\leq x \leq 1 miny=∣x∣1​s.t.−3≤x≤1

​ 解：对应 Lingo\text{Lingo}Lingo 代码如下所示：

model:min=1/@abs(x);@bnd(-3,x,1);end

​ 注： Lingo\text{Lingo}Lingo 在调用函数时要在函数名称前面加上@。

​ 注: Lingo\text{Lingo}Lingo 中的注释用 “ ！“表示，”；“表示结束（可多行注释）。

3.二次规划：目标函数为自变量 xxx 的二次函数，约束条件全是线性的

标准形式为：

min⁡x12xTHx+fTxs.t.{Ax≤bMx=Nx1≤x≤x2其中A，M为矩阵，b,x1,x2为向量\min_x\frac{1}{2}x^THx+f^Tx\\ \text{s.t.}\begin{cases} Ax\leq b\\ Mx=N\\ x_1\leq x \leq x_2 \end{cases}\\ 其中A，M为矩阵，b,x_1,x_2为向量 xmin​21​xTHx+fTxs.t.⎩⎪⎨⎪⎧​Ax≤bMx=Nx1​≤x≤x2​​其中A，M为矩阵，b,x1​,x2​为向量

例：求解下列二次规划问题

min⁡f(x)=2x12−4x1x2+4x22−6x1−3x2s.t.{x1+x2≤34x1+x2≤9x1≥0,x2≥0\min f(x)=2x_1^2-4x_1x_2+4x_2^2-6x_1-3x_2\\ \text{s.t.}\begin{cases} x_1+x_2\leq3\\ 4x_1+x_2\leq9\\ x_1\geq0,x_2\geq0 \end{cases} minf(x)=2x12​−4x1​x2​+4x22​−6x1​−3x2​s.t.⎩⎪⎨⎪⎧​x1​+x2​≤34x1​+x2​≤9x1​≥0,x2​≥0​

解：对应 Lingo\text{Lingo}Lingo 代码如下所示：

model:min=2*x1^2-4*x1*x2+4*x2^2-6*x1-3*x2;x1+x2<=3;4*x1+x2<=9;end

​ 注：（非）线性规划问题采用 Lingo\text{Lingo}Lingo 软件实现来求解。

整数规划

定义：全部变量限制为整数的规划问题，称为纯整数规划；部分变量限制为整数的规划问题，称为混合整数规划；变量只取 000 或 111 的规划问题，称为**0−10-10−1整数规划**。这里只介绍分枝定界法。（其余的方法可以简单看一下PPT）

分枝定界法：

设有最大整数规划问题A，与它相应的线性规划问题B，从解问题B问题开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数 z∗z^*z∗ 的上界，记作 z2z_2z2​ ；而A的任意可行解的目标函数值将是 z∗z^*z∗ 的一个下界 z1z_1z1​ 。分枝定界法就是将B的可行域分成子区域的方法，逐步减小 z2z_2z2​ 和增大 z1z_1z1​ ,最终求到 z∗z^*z∗ 。

通俗地说就是，先找出相应线性规划B的最优解，然后从两个变量任意一个开始考虑整数，确定一个变量的范围后，再求解这个新的规划问题。如此反复最后找到最优解。

例：求解下列整数规划问题

max⁡z=5x1+8x2s.t.{x1+x2≤65x1+9x2≤45xi≥0,xi∈Z,i=1,2\max z=5x_1+8x_2\\ \text{s.t.}\begin{cases} x_1+x_2\leq6\\ 5x_1+9x_2\leq45\\ x_i\geq0,x_i\in\mathbb{Z},i=1,2 \end{cases} maxz=5x1​+8x2​s.t.⎩⎪⎨⎪⎧​x1​+x2​≤65x1​+9x2​≤45xi​≥0,xi​∈Z,i=1,2​

解：对应 Lingo\text{Lingo}Lingo 代码如下所示：

model:max=5*x1+8*x2;x1+x2<=6;5*x1+9*x2<=45;@gin(x1);@gin(x2);end

注：@gin（）:整数约束；@bin()：0-1约束

无赖法——隐枚举法（针对xix_ixi​的整体组合数目较小）

该种方法的适用范围有限，解答灵魂在于图中表格。

哎，就是玩儿（备考请跳过😘）：对于Lingo\text{Lingo}Lingo中对于循环的实现（以配送选址问题的代码为例）

@for():想必这个还是很好理解的，这是一个循环的标识

∑j=1nxij⇒\sum_{j=1}^nx_{ij}\Rightarrow∑j=1n​xij​⇒ @for( warehouse(i): @sum( link2(i,j):x(i,j)) ) 怎么理解呢？

大概讲一下Lingo\text{Lingo}Lingo中一个比较好玩的想法，上面这个问题的关键是要理解何为link2？

link2的定义位于set中，在数学上可以理解为笛卡尔积，考虑

​ sets:

​ factory/p1…p6/:p;

​warehouse/w1…w4/:a,f,g;

​customer/c1…c6/:d;

​ tr/tr1…tr4/: z;

​ link1(factory,warehouse):c,w;

​link2(warehouse,customer):h,x;

​ endsets

如果说向量是Matlab\text{Matlab}Matlab的灵魂，那么数学的集合思想正是Lingo\text{Lingo}Lingo灵魂不可分割的重要部分。

在这里，warehouse和customer称为集合，但实际上严格来说我会称之为”集合族“，因为w1,w2,w3,w4都是独立的集**(set)，这里的a，f，g和d分别称为warehouse和customer的属性(attribute)**,之所以w1,w2,w3,w4在同一族中，正是因为有相同的属性，物以类聚。

集合的定义语法可以简单记为：set_name/set_member/:attribute_list

link的作用正是一个声明，声明不同集合(族)之间是存在某种运算或某种关系的，这种定义并不会为我们增加任何负担。相反，就配送选址问题为例，我们可以这么想：备选配送中心作为供应工厂与顾客的枢纽，它势必是与这两者之间有某种联系的，具体表现为货物从每个供应工厂到每个配送中心运入量、从每个配送中心到每个顾客的运出量，因此我们需要这样的link1,link2，而供应工厂与顾客之间并无之间联系，因此也就没有所谓的link3

多目标优化

考试要求：可以解释方程组含义，不作求解要求

概念：

偏差变量：实际值与目标值之间的差异

正偏差变量 d+d^+d+ ：超出目标的偏差

负偏差变量 d−d^-d− ：未达到目标的偏差

{d−=0,d+>0,实际值超过目标值d+=0,d−>0,实际值未达到目标值d+=0,d−=0,实际值等于目标值\begin{cases} d^-=0,d^+>0,实际值超过目标值\\ d^+=0,d^->0,实际值未达到目标值\\ d^+=0,d^-=0,实际值等于目标值 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​d−=0,d+>0,实际值超过目标值d+=0,d−>0,实际值未达到目标值d+=0,d−=0,实际值等于目标值​

统一处理目标与约束

刚性约束：类似线性规划，采用严格的等式或不等式约束

柔性约束：若希望不等式保持大于等于，则极小化负偏差；

​ 若希望不等式保持小于等于，则极小化正偏差；

​ 若希望保持等式，则同时极小化正负偏差。

目标的优先级与权系数

目标规划中，目标的优先级分为两个层面。

第一个层面：目标分成不同的优先级，再求解目标规划时，必须先优化优先级高的目标，再优化优先级低的目标。通常用 P1>>P2>>⋯>>Pk>>⋯P_1>>P_2>>\cdots>>P_k>>\cdotsP1​>>P2​>>⋯>>Pk​>>⋯ 表示不同的因子。

第二个层面：目标处于同一优先级，但两个目标的权重不同，此时应零目标同时优化，但用权重系数的大小来表示目标的重要性的差别。

目标规划模型的一般形式：

设 xj,j=1,⋯,nx_j,j=1,\cdots,nxj​,j=1,⋯,n 时目标规划的决策变量，共有 m 个刚性约束，有 I 个柔性约束目标，其偏差变量为 dj+,dj−,j=1,⋯,nd_j^+,d_j^-,j=1,\cdots,ndj+​,dj−​,j=1,⋯,n ，I 有 q 个优先级别，分别是 P1,⋯,PqP_1,\cdots,P_qP1​,⋯,Pq​ ，在同一个优先级 PkP_kPk​ 中有不同的权重，分别记为 wkj+,wkj−,j=1,⋯,Iw_{kj}^+,w_{kj}^-,j=1,\cdots,Iwkj+​,wkj−​,j=1,⋯,I ，则目标规划模型的一般形式为：

min⁡z=∑k=1qPk∑j=1I(wkj+dj−+wkj+dj+)s.t.{∑j=1naijxj≤(=,≥)bi,i=1,⋯,m∑j=1ncijxj+di−−di+=gi,i=1,⋯,Ixj≥0,j=1,⋯,ndi−,di+≥0,i=1,⋯,I\min z=\sum_{k=1}^qP_k\sum_{j=1}^I(w_{kj}^+d_j^-+w_{kj}^+d_j^+)\\ \text{s.t.}\begin{cases} \sum_{j=1}^na_{ij}x_j\leq(=,\geq)b_i,i=1,\cdots,m\\ \sum_{j=1}^nc_{ij}x_j+d_i^--d_i^+=g_i,i=1,\cdots,I\\ x_j\geq0,j=1,\cdots,n\\ d_i^-,d_i^+\geq0,i=1,\cdots,I \end{cases} minz=k=1∑q​Pk​j=1∑I​(wkj+​dj−​+wkj+​dj+​)s.t.⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​∑j=1n​aij​xj​≤(=,≥)bi​,i=1,⋯,m∑j=1n​cij​xj​+di−​−di+​=gi​,i=1,⋯,Ixj​≥0,j=1,⋯,ndi−​,di+​≥0,i=1,⋯,I​

需要说明的是优先级的安排具有主观性，一般来说P1P_1P1​是确定的，但后面的很有可能是不能肯定的，言之有理即可，没有唯一答案。

补充（不要求掌握，仅供娱乐）:对于代码（ex3_9_2.lg4）的说明

（sets）⋯\cdots⋯Variable/1…2/: x; H_Cons(H_Con_Num, Variable): A; S_Cons(S_Con_Num, Variable): C;⋯\cdots⋯

在这里集合Variable称为集合H_Cons和S_Cons的派生集

（data）⋯\cdots⋯ctr = ? ; Goal = ? ? 0 ;⋯\cdots⋯

在这里每个？代表未知参数，但在每个问题中该参数是事先给定的，称为实时输入参数，在运行过程中，程序会自动跳出对话框，供操作者输入参数。

@for(Level(i)|i# lt #@size(Level):@bnd(0, z(i), Goal(i));

这里的for语句中，在条件中设置了一个成员资格过滤器，选择符合条件：i > size(level)的i进行后续语句的操作。” | “是成员资格过滤器的开始标志，两个” # “之间是一个逻辑判断，” lt “代表的是严格大于。函数@bnd（a，x，b）的作用是令a<x<b

排队论

排队系统的组成和特征

一般的排队过程都由输入过程，排队规则，服务过程三部分组成

输入过程：是指顾客到来时间的无规律性

顾客来源，到达方式，相继顾客到达的时间间隔

排队规则：指到达排队系统的顾客按怎样的规则排队等待

等待制，损失制，混合制，闭合制

服务过程：包括服务机构和服务规则两个部分

服务规则—先到先服务，后到后服务，随机服务

服务机构—单服务台，多服务台（并联，串联），混合型

排队系统的数量指标

队长：系统内顾客数（正被服务+排队等待服务）的数学期望，记作 LsL_sLs​ ；等待队长：系统内等待服务的顾客数的数学期望，记作 LqL_qLq​ ；等待时间：顾客在系统内逗留时间（等待排队时间+接受服务时间）的数学期望，记作 WsW_sWs​ ；顾客在系统内等待时间（进入系统到接受服务的时间）的数学期望，记作 WqW_qWq​ ；忙期：服务机构连续繁忙时间（顾客到达空闲服务机构起，到服务机构再次空闲的时间）的数学期望，记作 TbT_bTb​ ；损失率：顾客不能进入排队系统的概率；服务强度：忙期/服务总时间

M/M/SM/M/SM/M/S 等待制模型

顾客到达规律服从参数为 λ\lambdaλ 的 Poisson 分布，在 [0,t][0,t][0,t] 时间内到达的顾客数 X(t)X(t)X(t) 服从的分布为

P{X(t)=k}=(λt)ke−λtk!\mathbb{P}\{X(t)=k\}=\frac{(\lambda t)^ke^{-\lambda t}}{k!} P{X(t)=k}=k!(λt)ke−λt​

顾客接受服务的时间服从负指数分布，单位时间服务的顾客平均数为 μ\muμ ，则服务时间的分布为

f(t)={μe−μt,t>00,其他f(t)=\begin{cases} \mu e^{-\mu t},t>0\\ 0,\text{其他} \end{cases} f(t)={μe−μt,t>00,其他​

这表明每个顾客接受服务的平均时间为 Ts=1/μT_s=1/\muTs​=1/μ 。

S=1S=1S=1 情形

服务强度：ρ=λ/(Sμ)=λ/μ\rho=\lambda /(S\mu)=\lambda/\muρ=λ/(Sμ)=λ/μ ，且 ρ<1\rho<1ρ<1 。

（理解：服务强度=单位时间服务强度=忙期总时间\frac{忙期}{总时间}总时间忙期​=单位时间顾客数×每个顾客平均服务时间单位时间1\frac{单位时间顾客数\times每个顾客平均服务时间}{单位时间1}单位时间1单位时间顾客数×每个顾客平均服务时间​=λ×1/μ1\frac{\lambda\times1/\mu}{1}1λ×1/μ​=λμ\frac{\lambda}{\mu}μλ​）

系统里有 n 个顾客的概率：pn=(1−ρ)ρn,n=0,1,2,⋯p_n=(1-\rho)\rho^n,n=0,1,2,\cdotspn​=(1−ρ)ρn,n=0,1,2,⋯

（理解：流入-流出平衡原理，目前无法理解）

系统中顾客的平均队长为：Ls=ρ1−ρL_s=\frac{\rho}{1-\rho}Ls​=1−ρρ​ （∑n=0∞npn\sum_{n=0}^\infty np_n∑n=0∞​npn​）

系统中顾客的平均等待队长：Lq=ρ21−ρL_q=\frac{\rho^2}{1-\rho}Lq​=1−ρρ2​ （∑n=0∞(1−n)pn\sum_{n=0}^\infty (1-n)p_n∑n=0∞​(1−n)pn​）

顾客在系统中的逗留时间： T∼Exp(μ−λ)T\sim Exp(\mu-\lambda)T∼Exp(μ−λ) ，平均逗留时间为：Ws=1μ−λW_s=\frac{1}{\mu-\lambda}Ws​=μ−λ1​

顾客在系统中平均等待时间：Wq=Ws−Ts=1μ−λ−1μ=λμ(μ−λ)W_q=W_s-T_s=\frac{1}{\mu-\lambda}-\frac 1\mu=\frac{\lambda}{\mu(\mu-\lambda)}Wq​=Ws​−Ts​=μ−λ1​−μ1​=μ(μ−λ)λ​

Little 公式：(对其他排队模型依然适用，包括 S>1S>1S>1 情形)

(在队长和等待时间之间建立起等式关系)

Ls=ρ1−ρ=λμ1−λμ=λμ−λ=λWsLq=ρ21−ρ=λ2μ21−λμ=λ2μ(μ−λ)=λWqL_s=\frac{\rho}{1-\rho}=\frac{\frac{\lambda}{\mu}}{1-\frac{\lambda}{\mu}}=\frac{\lambda}{\mu-\lambda}=\lambda W_s\\ L_q=\frac{\rho^2}{1-\rho}=\frac{\frac{\lambda^2}{\mu^2}}{1-\frac{\lambda}{\mu}}=\frac{\lambda^2}{\mu(\mu-\lambda)}=\lambda W_q Ls​=1−ρρ​=1−μλ​μλ​​=μ−λλ​=λWs​Lq​=1−ρρ2​=1−μλ​μ2λ2​​=μ(μ−λ)λ2​=λWq​

S>1S>1S>1 情形

服务强度：ρ=λ/(Sμ)\rho=\lambda /(S\mu)ρ=λ/(Sμ) ，且 ρ<1\rho<1ρ<1

系统里有 n 个顾客的概率：

pn={(Sρ)nn!p0,n=1,⋯,S(Sρ)nS!Sn−Sp0,n≥Sp_n=\begin{cases} \frac{(S\rho)^n}{n!}p_0,n=1,\cdots ,S\\\\ \frac{(S\rho)^n}{S!S^{n-S}}p_0,n\ge S \end{cases} pn​=⎩⎪⎨⎪⎧​n!(Sρ)n​p0​,n=1,⋯,SS!Sn−S(Sρ)n​p0​,n≥S​

其中，所有服务台都空闲的概率

p0=[∑n=0S−1(Sρ)nn!+(Sρ)SS!(1−ρ)]−1p_0=\left[\sum_{n=0}^{S-1}\frac{(S\rho)^n}{n!}+\frac{(S\rho)^S}{S!(1-\rho)}\right]^{-1} p0​=[n=0∑S−1​n!(Sρ)n​+S!(1−ρ)(Sρ)S​]−1

系统中顾客的平均队长：Ls=Sρ+(Sρ)SρS!(1−ρ)p0L_s=S\rho+\frac{(S\rho)^S\rho}{S!(1-\rho)}p_0Ls​=Sρ+S!(1−ρ)(Sρ)Sρ​p0​

顾客在系统中的平均逗留时间：Ws=LsλW_s=\frac{L_s}{\lambda}Ws​=λLs​​

顾客在系统中的平均等待时间：Wq=Ws−Ts=Lsλ−1μW_q=W_s-T_s=\frac{L_s}{\lambda}-\frac{1}{\mu}Wq​=Ws​−Ts​=λLs​​−μ1​

系统中顾客的的平均等待队长：Lq=λWq=(Sρ)SρS!(1−ρ)2p0L_q=\lambda W_q=\frac{(S\rho)^S\rho}{S!(1-\rho)^2}p_0Lq​=λWq​=S!(1−ρ)2(Sρ)Sρ​p0​

接受服务的顾客数期望：SρS\rhoSρ

S=2S=2S=2 情形

服务强度：ρ=λ/(2μ)\rho=\lambda/(2\mu)ρ=λ/(2μ)，且ρ<1\rho<1ρ<1

系统里有 n 个顾客的概率：

pn={(2ρ)nn!p0,n=12ρnp0,n≥2p_n=\begin{cases} \frac{(2\rho)^n}{n!}p_0,n=1\\\\ 2\rho^n p_0,n\ge2 \end{cases} pn​=⎩⎪⎨⎪⎧​n!(2ρ)n​p0​,n=12ρnp0​,n≥2​

其中，所有服务台都空闲的概率

p0=[∑n=02−1(2ρ)nn!+(2ρ)22!(1−ρ)]−1=1−ρ1+ρp_0=[\sum_{n=0}^{2-1}\frac{(2\rho)^n}{n!}+\frac{(2\rho)^2}{2!(1-\rho)}]^{-1}=\frac{1-\rho}{1+\rho} p0​=[n=0∑2−1​n!(2ρ)n​+2!(1−ρ)(2ρ)2​]−1=1+ρ1−ρ​

系统中顾客的平均队长：

Ls=2ρ+(2ρ)2ρ2!(1−ρ)p0=4μλ(2μ−λ)(2μ+λ)L_s=2\rho+\frac{(2\rho)^2\rho}{2!(1-\rho)}p_0=\frac{4\mu\lambda}{(2\mu-\lambda)(2\mu+\lambda)} Ls​=2ρ+2!(1−ρ)(2ρ)2ρ​p0​=(2μ−λ)(2μ+λ)4μλ​

由Little\text{Little}Little公式，平均逗留时间为，

Ws=Lsλ=4μ(2μ−λ)(2μ+λ)W_s=\frac{L_s}{\lambda}=\frac{4\mu}{(2\mu-\lambda)(2\mu+\lambda)} Ws​=λLs​​=(2μ−λ)(2μ+λ)4μ​

系统中顾客的平均等待时间为，

Wq=Ws−Ts=Ws−1μ=λ2μ(2μ−λ)(2μ+λ)W_q=W_s-T_s=W_s-\frac{1}{\mu}=\frac{\lambda^2}{\mu(2\mu-\lambda)(2\mu+\lambda)} Wq​=Ws​−Ts​=Ws​−μ1​=μ(2μ−λ)(2μ+λ)λ2​

由Little\text{Little}Little公式，平均等待队长为，

Lq=λWs=λ3μ(2μ−λ)(2μ+λ)L_q=\lambda W_s=\frac{\lambda^3}{\mu(2\mu-\lambda)(2\mu+\lambda)} Lq​=λWs​=μ(2μ−λ)(2μ+λ)λ3​

可以发现，

KaTeX parse error: No such environment: eqnarray at position 8: \begin{̲e̲q̲n̲a̲r̲r̲a̲y̲}̲ W_q=\rho^2W_S~…

因此，对于M/M/2模型的记忆只需要记住Wq,Ws,Lq,LsW_q,W_s,L_q,L_sWq​,Ws​,Lq​,Ls​四个之中任何一个即可，然后利用Little\text{Little}Little公式和（*）推导即可

第四章：评价算法

​ 由于考试中只会针对层次分析法以及模糊综合评价进行考察，所以这里只归纳层次分析法以及模糊综合评价的相关知识点。

层次分析法(AHP)

基本概念：

层次分析法是将要决策的问题及其有关因素分解成目标、准则、方案等层次，进而进行定性和定量分析的决策方法。

它的特征是合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程细致化。

基本步骤：

建立递阶层次结构模型

构造出各层次中的所有判断矩阵

层次单排序及一致性检验

层次总排序及一致性检验

考试中只考单排序一致性检验

具体步骤：

第 111 步：建立递阶层次结构模型

最高层（目标层）：只有一个元素，即决策目标

中间层（准则层）：决策的准则、子准则

最底层（方案层）：备选方案、措施

第 222 步：构造成对比较阵

假定共有 nnn 个元素参与比较，构造成对比较阵：

A=(a11⋯a1n⋮⋱⋮an1⋯ann)A=\left(\begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right) A=⎝⎜⎛​a11​⋮an1​​⋯⋱⋯​a1n​⋮ann​​⎠⎟⎞​

其中 aija_{ij}aij​ 表示第 iii 个元素比第 jjj 个元素强的重要程度，典型标度如下：

概念及相关结论：

（1）如果 aij>0a_{ij}>0aij​>0 ，aijaji=1a_{ij}a_{ji}=1aij​aji​=1 ，则称矩阵 AAA 为正互反矩阵。

（2）若 nnn 阶正互反矩阵 AAA 满足 aikakj=aija_{ik}a_{kj}=a_{ij}aik​akj​=aij​ ，则称 AAA 为一致性矩阵。

（3）nnn 阶正互反矩阵 AAA 为一致性矩阵 ⇔\Leftrightarrow⇔ AAA 最大特征值为 nnn 。

（4）aii=1a_{ii}=1aii​=1

第 333 步：层次单排序及一致性检验

（1）计算成对比较阵 AAA 的最大特征值 λmax\lambda_{\text{max}}λmax​

残缺矩阵的处理方法

a~ij={aij,aij≠θ,i≠j0,aij=θ,i≠jmi+1,i=j\tilde{a}_{ij}=\begin{cases} a_{ij},\qquad\quad a_{ij}\neq\theta,i\neq j\\ 0,\qquad~~~\quad a_{ij}=\theta,i\neq j\\ m_i+1,\quad~ i=j \end{cases} a~ij​=⎩⎪⎨⎪⎧​aij​,aij​​=θ,i​=j0,aij​=θ,i​=jmi​+1,i=j​

其中符号 θ\thetaθ 表示残缺，mim_imi​ 表示第 iii 行残缺元素的个数。

例：

A=(11θ114θ141)⟶A~=(2101140142)A=\left(\begin{matrix} 1 & 1 & \theta\\ 1 & 1 & 4\\ \theta & \frac{1}{4} & 1 \end{matrix} \right)\longrightarrow \tilde{A}=\left(\begin{matrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 4\\ 0 & \frac{1}{4} & 2 \end{matrix} \right) A=⎝⎛​11θ​1141​​θ41​⎠⎞​⟶A~=⎝⎛​210​1141​​042​⎠⎞​

再利用和法计算矩阵 A~\tilde{A}A~ 的最大特征值及作一致性检验。

(建议顺序：对角线 →θ→\rightarrow\theta\rightarrow→θ→ 其余补全）

和法计算最大特征值

A=(1131141/31/41)⟶列向量归一化(3/74/93/83/74/91/21/71/91/8)⟶按行求和(629/504173/126191/504)⟶归一化(629/1512173/3781191/1512)=w≈(0.41600.45770.1263)Aw=(1131141/31/41)(629/1512173/3781191/1512)=(947/7563895/5041721/4536)λ=13∑i=13((Aw)iwi)≈3.0092A=\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 4\\ 1/3 & 1/4 & 1\\ \end{matrix}\right)\overset{列向量归一化}\longrightarrow\left(\begin{matrix} 3/7 & 4/9 & 3/8\\ 3/7 & 4/9 & 1/2\\ 1/7 & 1/9 & 1/8\\ \end{matrix}\right)\\ \overset{按行求和}\longrightarrow\left(\begin{matrix} 629/504\\ 173/126\\ 191/504\\ \end{matrix}\right)\overset{归一化}\longrightarrow \left(\begin{matrix} 629/1512\\ 173/378\\ 1191/1512\\ \end{matrix}\right)=w\approx\left(\begin{matrix} 0.4160\\ 0.4577\\ 0.1263\\ \end{matrix}\right)\\ Aw=\left(\begin{matrix} 1 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 4\\ 1/3 & 1/4 & 1\\ \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 629/1512\\ 173/378\\ 1191/1512\\ \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 947/756\\ 3895/504\\ 1721/4536\\ \end{matrix}\right)\\ \lambda=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^3(\frac{(Aw)_i}{w_i})\approx3.0092 A=⎝⎛​111/3​111/4​341​⎠⎞​⟶列向量归一化​⎝⎛​3/73/71/7​4/94/91/9​3/81/21/8​⎠⎞​⟶按行求和​⎝⎛​629/504173/126191/504​⎠⎞​⟶归一化​⎝⎛​629/1512173/3781191/1512​⎠⎞​=w≈⎝⎛​0.41600.45770.1263​⎠⎞​Aw=⎝⎛​111/3​111/4​341​⎠⎞​⎝⎛​629/1512173/3781191/1512​⎠⎞​=⎝⎛​947/7563895/5041721/4536​⎠⎞​λ=31​i=1∑3​(wi​(Aw)i​​)≈3.0092

​ (2)计算一致性指标

CI=λmax−nn−1CI=\frac{\lambda_{\text{max}}-n}{n-1} CI=n−1λmax​−n​

​ 那么（1）中矩阵的一致性指标为：

CI=λ−nn−1=3.0092−33−1=0.0046CI=\frac{\lambda-n}{n-1}=\frac{3.0092-3}{3-1}=0.0046 CI=n−1λ−n​=3−13.0092−3​=0.0046

​ (3)计算一致性比率 CR=CIRICR=\frac{CI}{RI}CR=RICI​ ，其中随机一致性指标 RIRIRI 如下：

​ 判断：当 CR<0.1CR<0.1CR<0.1 ，通过一致性检验；否则修正矩阵 AAA 。

​ 那么（1）中矩阵的一致性检验为：

CR=CIRI=0.00460.58=0.0079<0.1CR=\frac{CI}{RI}=\frac{0.0046}{0.58}=0.0079<0.1 CR=RICI​=0.580.0046​=0.0079<0.1

​ 通过一致性检验。

模糊综合评价（计算题中不要求过程，写了也不给分，题目总分降低 😓）

相关概念： 论域：处理某一问题是对有关议题的限制范围，记为 XXX 。集合：在论域 XXX 中，具有某种属性的事物的全体。隶属度函数：将任何 x∈Xx\in Xx∈X 映射到 [0,1][0,1][0,1] 区间上某个值的函数，记为 μA(⋅)→[0,1]\mu_A(\cdot)\rightarrow[0,1]μA​(⋅)→[0,1] 。模糊集：A={μA(x)∣x∈X}A=\{\mu_A(x)|x\in X\}A={μA​(x)∣x∈X}隶属度：隶属度函数 μA(X)\mu_A(X)μA​(X) 在 xxx 处的取值 μA(x)\mu_A(x)μA​(x) 。

由于考试只考察模糊矩阵，模糊合成，以及运算法则，所以这里只着重介绍这三个方面：

模糊集的运算法则

{A=B⇔A(x)=B(x),∀x∈XA⊆B⇔A(x)≤B(x),∀x∈X(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)=max⁡{A(x),B(x)},∀x∈X(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)=min⁡{A(x),B(x)},∀x∈XAc(x)=1−A(x),∀x∈X\begin{cases} A=B \Leftrightarrow A(x)=B(x),\forall x\in X\\ A\subseteq B\Leftrightarrow A(x)\leq B(x),\forall x\in X\\ (A\cup B)(x)=A(x)\vee B(x)=\max\{A(x),B(x)\},\forall x\in X\\ (A\cap B)(x)=A(x) \land B(x)=\min\{A(x),B(x)\},\forall x\in X\\ A^c(x)=1-A(x),\forall x\in X \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​A=B⇔A(x)=B(x),∀x∈XA⊆B⇔A(x)≤B(x),∀x∈X(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)=max{A(x),B(x)},∀x∈X(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)=min{A(x),B(x)},∀x∈XAc(x)=1−A(x),∀x∈X​

模糊矩阵

设 R=(rij)n×mR=(r_{ij})_{n\times m}R=(rij​)n×m​ 为矩阵，满足 0≤rij≤10\leq r_{ij}\leq10≤rij​≤1 ，则称 RRR 为模糊矩阵；若 rijr_{ij}rij​ 只取值 000 或 111 ，称为 Boolean 矩阵。

模糊变换：

设 A,BA,BA,B 分别为 X,YX,YX,Y 上的模糊集，XXX 与 YYY 之间存在模糊关系，可用模糊矩阵 RRR 来表示，则 B=A∘RB=A\circ RB=A∘R 称为模糊变换。

模糊矩阵的运算法则

设 A=(aij)m×n，B=(bij)m×nA=(a_{ij})_{m\times n}，B=(b_{ij})_{m\times n}A=(aij​)m×n​，B=(bij​)m×n​ 都是 模糊矩阵，则

{A=B⇔aij=bijA⊆B⇔aij≤bijA∪B=(aij∨bij)m×n=(max⁡{aij,bij})m×nA∩B=(aij∧bij)m×n=(min⁡{aij,bij})m×nAc=(1−aij)m×n\begin{cases} A=B\Leftrightarrow a_{ij}=b_{ij}\\ A\subseteq B\Leftrightarrow a_{ij}\leq b_{ij}\\ A\cup B=(a_{ij}\vee b_{ij})_{m\times n}=(\max\{a_{ij},b_{ij}\})_{m\times n}\\ A\cap B=(a_{ij}\land b_{ij})_{m\times n}=(\min\{a_{ij},b_{ij}\})_{m\times n}\\ A^c=(1-a_{ij})_{m\times n} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​A=B⇔aij​=bij​A⊆B⇔aij​≤bij​A∪B=(aij​∨bij​)m×n​=(max{aij​,bij​})m×n​A∩B=(aij​∧bij​)m×n​=(min{aij​,bij​})m×n​Ac=(1−aij​)m×n​​

模糊矩阵的合成

设 A=(aij)m×n，B=(bij)m×nA=(a_{ij})_{m\times n}，B=(b_{ij})_{m\times n}A=(aij​)m×n​，B=(bij​)m×n​ 都是 模糊矩阵，则模糊矩阵

A∘B=(cij)m×nA\circ B=(c_{ij})_{m\times n} A∘B=(cij​)m×n​

其中，

cij=∨k=1s(aik∧bkj)c_{ij}=\vee_{k=1}^s(a_{ik}\land b_{kj}) cij​=∨k=1s​(aik​∧bkj​)

称为模糊合成。特别地，A2=A∘AA^2=A\circ AA2=A∘A 。

B12=B1∘B1=(0.700.40.9)A2∘B2=(0.40.610.7)B2∘A2=(0.70.70.50.60.60.50.30.30.3)B_1^2=B_1\circ B_1= \left(\begin{matrix} 0.7&0\\0.4&0.9 \end{matrix}\right)~ A_2\circ B_2=\left(\begin{matrix} 0.4&0.6\\1&0.7 \end{matrix}\right)~ B_2\circ A_2= \left(\begin{matrix} 0.7&0.7&0.5 \\0.6&0.6&0.5 \\0.3&0.3&0.3 \end{matrix}\right) B12​=B1​∘B1​=(0.70.4​00.9​)A2​∘B2​=(0.41​0.60.7​)B2​∘A2​=⎝⎛​0.70.60.3​0.70.60.3​0.50.50.3​⎠⎞​