关于根号p是无理数的另类证明

这个证明是窝和房姐姐的第一次接触时候完成的。那个时候经常上那个什么鬼计算机基础，科科，经常玩进位制，于是灵感大法，完成于的中秋节假期。

问题：若p不是完全平方数，那么p√为无理数。

证明：

1.若p√为整数，那么设p√=k,k∈N+,p=k2,与题设矛盾！

2.若p√为分数，(m,n)=1,m不等于1，设p√=nm

引理：对于无限小数（有理数）ab(a,b∈N+),存在进位制h，使得ab在进位制h下为有限小数

引理的证明：

我们取h=b，表示出a在b进制下的形式

a=Sk⋅bk+Sk−1⋅bk−1+...+S1⋅b1+S0⋅b0,

其中Si∈{0,1,...,b−1},i=1,2,...,k,Si不全为0.那么有

ab=Sk⋅bk−1+Sk−1⋅bk−2+...+S1⋅+S0⋅b−1⋅b0=(SkSk−1...S2S1.S0).

故引理得证.

回到原题，下面证明(nm)2不为正整数

1.若nm为有限小数，那么设：

nm=apap−1...al.al−1al−2...a1¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯,ai∈{0,1,...9}

ai不全为0，上式为nm的十进制表达式。

则有10l−1(nm)=apap−1...a1¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯,由于nm有小数位故l−1不为0，两边平方有

102(l−1)⋅(nm)2=(apap−1...a1¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯)2=(∑j=2paj⋅10j−1+a1)2,

∴102l−2⋅(nm)2≡(∑pj=2aj⋅10j−1+a1)2≡a21≡0(mod10)

∴a1=0,同理a1=a2=....a+l−1=0,矛盾！所以当nm为有限小数时，(nm)2不为正整数.

2.若nm为无限小数，那么由引理nm在m进制下为有限小数,n=∑kj=0Sj⋅mj.设：

nm=Sk⋅mk−1+Sk−1⋅mk−2+...+S1⋅+S0⋅m−1⋅m0=(SkSk−1...S2S1.S0).

而c=(∑kj=0Sj⋅mj−1)2中产生m−2项，其系数为S20,由假定m不为1，所以S0不为0，所以(nm)2在m进制下至少存在小数位m−2，与p∈N+在m<script id="MathJax-Element-18618" type="math/tex">m</script>进制下午小数位矛盾！

综上（1），（2）知命题得证。