根号 2 是无理数的证明

1. 必要的准备

首先声明一些基本事实：

偶数的平方还是偶数；奇数的平方还是奇数；偶数之间的乘法还是偶数；奇数之间的乘法还是奇数；

所谓偶数还是奇数，分别的关键在于是否存在 2 的因子。

设 p 是一个偶数，即有：

p=2m,m∈Q⇒p2=4m2

仍是偶数。

设 q 是一个奇数，即有：

q=2m+1,m∈Q⇒q2=4m2+4m+1

若 p2 是偶数，则 p 一定是偶数（p是整数，也即 p2 至少存在 4（2×2）的因子）。

2. 反证法进行证明

假设 2√ 不是无理数，而是有理数，即：

2√=pq

其中 p,q 没有共因子（最简），如此一来，p,q 不会同时是偶数，不妨设 p 是奇数（q可以为奇数，也可以为偶数、），于是：

p=2√q⇒p2=2q2

p2是偶数 ⇒ p是偶数（p首先必须为整数），设 p=2r，这样，上式变为：

4r2=2q2

q2 是偶数 ⇒ q 是偶数 ⇒ 与假设相矛盾。

3. 一种清爽的证明

题设：p,q 二者互质；

2√=pq⇒p2=2q2

所以 p 为偶数，不妨令其为2k⇒ q2=2k2 ⇒ q<script type="math/tex" id="MathJax-Element-121">q</script> 也是偶数，与假设矛盾。