毕达哥拉斯学派对数学的贡献不仅来自具体的数学研究，还在于他们的数学思想产生了深远的影响。下面介绍他们数学思想的几个方面。

一、万物皆数

毕达哥拉斯学派除了研究数与数之间的关系外，还对数与自然之间的关系特别感兴趣。他们发现，很多事物和现象都可以从数量的方面进行说明和解释。他们首先得到的启迪来自音乐。公元4世纪的一位学者讲述了毕达哥拉斯的一则有趣故事。：

一天，毕达哥拉斯走过一个铁匠铺，除了一片混杂的声响外，他听到了锤子敲打着铁块，发出多彩的和声在共同回响。于是，他立即跑进铁匠铺去研究锤子的和声。他注意到，大多数锤子可以同时敲打而产生和谐的声响，而当加入某一把锤子一起敲打时总是产生令人不快的噪声。他对锤子进行了分析，认识到那些彼此间音调和谐的锤子间有一种简单的数学关系——他们的质量彼此之间成简单比。具体来说，那些质量等于某一把锤子重的1/2，1/3或1/4的锤子都能产生和谐的声响。另一方面，那把产生噪音的锤子，它的质量和别的锤子的质量之间不存在这种简单整数比关系。

毕达哥拉斯在琴弦上重复了这一实验，并发现：一根拉紧的弦如果弹出一个音调，比如说是do，那么当取这原弦长的一半时，会弹出高八度的do；如果取2/3，会弹出高5度的音so；取3/4，弹出音是fa。他还发现，对于有同样张力的两根弦，当他们的长度为简单的整数比时，奏出的乐声就和谐悦耳。或者说，在每一个和谐组合中，所拨动琴弦的相对长度都可以表示为整数比。于是，从对各种不同弦长产生和声中，毕达哥拉斯得出结论，谐音完全是某些确定的数之间的比造成的。后来，毕氏学派根据“简单整数比”的原理，创造出一套音乐理论，开创了音乐理论研究的先河。

说到这里，我们可以解释一下“调和”比例名称的由来了。6:4=3:2给出第五度音阶，4:3给出第四度音阶，6:3=(4:3)*(3:2)=2:1给出第八度音阶，具有如上比例的弦发出的声音非常悦耳，而人们把由此得到的愉快感觉称为谐和（或调和），于是来自最基本和声的6，4,3之比就被称为调和比例了。简而言之，调和比例（调和平均值）之名是在寻求音乐理论的过程中产生的。顺便指出，调和平均数又与调和数列的概念相联系。因为按照调和平均值H的定义（即1/p和1/q的算术平均数取倒数），容易得出，p、H、q都去倒数后，会构成一个等差数列。比如，1、2/3、1/2各自取倒数，得到1、3/2、2是一个等差数列。这种情况下，我们就称p、H、q构成一个调和数列。具体而言，如果一个数列各项取倒数后得到一个等差数列，那么原数列就称为一个调和数列。

音调的和谐竟由整数的比决定！音乐与数这似乎毫无关联的两者间存在的这意外联系给毕达哥拉斯以很大的影响。他从中得到启发并做出大胆推测：所有事物都可以用整数或整数的比来解释。他与他的学派成员开始热衷于由此出发去解释更多的现象。

比如，他们相信行星的运动可以归结为数的关系，可以根据数的比表示。在他们看来，物体在空间运动时会发出声音，而且运动得越快的物体比运动得慢的物体发出更高的声音。他们相信，行星运动时也会这样。并且，他们认为离地球越远的星，运动得越快，因而会发出更高的声音。进而，他们相信与地球距离不同的行星发出的不同声音能形成和谐之音。而这真正的“天籁之音”也像所有的谐音一样藏有数与数的比。于是，行星的运动被他们“还原”为数的关系。

事实上，正是由于毕达哥拉斯学派相信天文学和音乐都可以归结为数，他们才把这两门学科都归入了数学。因而，他们的数学课程分为四大部分：数的绝对理论——算术；数的应用——音乐；静止的量——几何；运动的量——天文，而四者合起来就被叫做“四艺”。

在几何、算术、天文和音乐方面研究得到的大量结果，不但深深地激励了毕达哥拉斯学派，增强了他们用数来解释世界的信息。而且，他们还从这种研究中感受到了一种奇妙的美。让我们举一个该学派注意到的例子。

我们上面提到，在关于音乐的研究中，当用三根弦发出某一音以及它的第五度音和第八度音时，这三根弦的长度之比为1/2:2/3:1，即3:4:6.这时能得到悦耳的谐音。我们也提到，只有三种情况下，正多边形能覆盖平面，即平面可以用6个正三角形或4个正方形或3个正六边形铺满。可以注意到，这些正多边形个数之比为6:4:3，而其边数之比则为3:4:6。在其他场合也能发现同样的比例。比如立方体的面数、顶点数、棱数的比等于6:8:12。类似的观察使他们确信，整个宇宙的现象依附于某种数值的相互关系，也就是存在着“宇宙的和谐”。对毕达哥拉斯学派来说，数学的美就在于整数和整数的比能解释一切自然现象。

“数”的中心地位随处课件，宇宙万物总可以归结为简单的整数或整数之比，这导致他们提出“万物皆数”的论断。他们的这一观点通过以为后期毕达哥拉斯学派成员的话得以清晰表达：“人们所知道的一切事物都包含数；因此，没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。”“不仅可以在鬼神的事物上，而且可以在人间的一切行动，思想，以致一切行业和音乐中看到这种数的力量”。

世界上的万物和现象都只能通过数（或确切地说是数学）才能加以解释，唯有通过数和行，才能把我宇宙的本质，毕达哥拉斯学派由于巧合或凭直觉的天才获得的这种观念 后来证明是极为重要的，是他们留给后人最可珍视的思想。如英国学者格斯瑞在《希腊哲学史》中所写：“今天自然界的一切科学的描述都采取数学方程式。我们能知觉的物理性质——颜色、热、光、声一一消失了，被代表波长和质量的数所替代了。因为这条理由，科学史宣称毕达哥拉斯的发现改变了整个历史进程。”从某种意义上说，现代自然科学的发展实际上正式遵循了毕达哥拉斯的传统，当然从形式上变得更加精巧和深奥了。

对毕达哥拉斯学派而言，他们不但认为“万物都可归结为整数或整数之比”，而且相信宇宙的本质就在于这种“数的和谐”。这种观念成了该学派的基本信条，并与其宗教观相融合，于是他们宣称天神用数来统御宇宙。

二、数字神秘主义

遵循万物皆数的信念，“一切事物都按数来安排”的信条，毕达哥拉斯学派又把数与更多的抽象概念联系在一起，从而产生出数学神秘主义，并进而将数字崇拜和对数的迷信奇特地结合起来。

比如，在他们看来，偶数是可分解的、从而也是容易消失的，阴性的，属于地上的，代表着黑暗和邪恶；而奇数则是不可分解的、阳性的、属于天上的，代表光明和善良。等等。

三、证明的思想

对古埃及、巴比伦等东方文明来说，数学是一种作为计算诀窍的使用工具。在约公元前600年，数学的本质在古希腊手中开始发生了改变。古希腊人将证明的思想引入数学，他们注重的不再是数值结果，而是依赖逻辑论证的逻辑证明。他们对古代流传下来的知识开始追问为什么并尽力去回答“为什么”。他们的努力将数学提升到一种新的境界，从此数学从具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，并逐渐形成一门独立的、演绎的科学。这在数学史上是一次不寻常的飞跃。

人们通常认为泰勒斯是这一新数学概念的开创者，相信是他沿着论证数学的方向迈出了第一步。

据认为，泰勒斯第一个证明了下面几个几何定理：圆的直径等分圆周；对顶角相等；三角形内角和等于两直角和；等腰三角形的两个底边相等；半圆上的圆周角是直角等等。

泰勒斯是否真的证明了这些结果，并不重要。他的贡献在于他的方法，而不是应用该方法的具体结果。他在历史上第一个引入了命题证明的思想，这是他在数学方面做出的划时代贡献。

泰勒斯已经开创了某种朴素的几何证明，毕达哥拉斯及其学派则大大推进了这种思想，促使数学沿着这一新方向成长。如后人总结，“泰勒斯本人有许多发现，并且在许多方面，他为他的继承人指明了通向基本原理的道路。有时他以比较一般的方式处理问题，有时则以比较直观的方式处理问题……继泰勒斯之后，毕达哥拉斯使得这门科学变成自由式的教育；他从数学的一些基本原理出发来考察这一学科，并尽力以纯逻辑思维的方式来研究各种命题，而不去考虑其具体表示。”

毕达哥拉斯学派对证明思想的发展体现在他们研究并证明了更多，包括一些深奥得多的数学结果上。正如我们前面已经介绍的，毕达哥拉斯在对自然数一般性质的研究中，提出并证明了许多有关数的结论，这一类问题现在被包含在“数论”中。事实上，正是毕达哥拉斯学派开辟了“数论”这门新的极为独特的数学分支。后来，“数学王子”高斯称它为数学王国的“数学皇后”。这一数学分支中最美的分支中包含的深奥东西，让最为出色的数学家为之流连忘返。这一迷人的数学领域具有的一个真正诱惑是许多富于刺激性的难题，简单得甚至连小学生都能听懂，然而，却使一代又一代世界一流数学家为它们付出了艰苦的努力。

在几何学方面，人么也通常把使几何学从经验上升到理论的关键性贡献归功于毕达哥拉斯及其学派。公元前4世界的一位数学家欧德缪斯后来指出：”毕达哥拉斯把自由的科学形式赋予几何学，用纯粹抽象的形式来考察它的原理并且研究具有非物质的、理性的观点的定理，从而改造了几何学。正是他找到了无理数的实质的理论，发现了宇宙图像的结构。“

从毕达哥拉斯学派之后，几何概念的建立不再借助于直接测量，而转向以演绎证明为基础，这是数学史上的一个大事件。而事件中，具有标志性的就是毕达哥拉斯对勾股定理的证明。