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一、条件分布的定义

F(x∣A)=P{X≤x∣A}F(x|A) = P\{X≤x|A\}F(x∣A)=P{X≤x∣A}

至于这个定义，其实就是条件概率嘛：P{X≤x∣A}=P{X≤x,A}P(A)P\{X≤x|A\} = \frac{P\{X ≤ x, A\}}{P(A)}P{X≤x∣A}=P(A)P{X≤x,A}​

二、二维离散型条件分布的计算

我们直接上具体的例子，难度其实是不大的：已知 X, Y 的联合分布表如下：

需要计算各种条件分布。

因为是离散型的随机变量，X 或者 Y 的取值被限定在了那几个值里面。所以各种条件概率就可以表示为：P{X=0∣Y=0};P{X=1∣Y=0};P{X=0∣Y=1};P{X=1∣Y=1}P{Y=0∣X=0};P{Y=1∣X=0};P{Y=0∣X=1};P{Y=1∣X=1}P\{X=0|Y=0\};P\{X=1|Y=0\};P\{X=0|Y=1\};P\{X=1|Y=1\}\\ P\{Y=0|X=0\};P\{Y=1|X=0\};P\{Y=0|X=1\};P\{Y=1|X=1\}P{X=0∣Y=0};P{X=1∣Y=0};P{X=0∣Y=1};P{X=1∣Y=1}P{Y=0∣X=0};P{Y=1∣X=0};P{Y=0∣X=1};P{Y=1∣X=1}

这种题目有固定解法：

【1】先把 X, Y 的边缘分布求出来（这在上一篇 BlogBlogBlog 里面涉及了）也就是说，通过这一步，我们可以计算得到：P{X=0},P{X=1},P{Y=0},P{Y=1}P\{X=0\}, P\{X=1\}, P\{Y=0\}, P\{Y=1\}P{X=0},P{X=1},P{Y=0},P{Y=1}

【2】我们举一个例子说明：如果要求的是 P{X=1∣Y=0}P\{X=1|Y=0\}P{X=1∣Y=0}，那么根据定义可以表示为：P{X=1∣Y=0}=P{X=1,Y=0}P{Y=0}P\{X=1|Y=0\} = \frac{P\{X=1,Y=0\}}{P\{Y=0\}}P{X=1∣Y=0}=P{Y=0}P{X=1,Y=0}​

我们发现：P{X=1,Y=0}P\{X=1,Y=0\}P{X=1,Y=0} 就是联合分布表里面 X = 1, Y = 0 的概率嘛，直接从上表找到即可（为0.3）

【3】除一下秒得结果

三、连续型随机变量的条件分布和条件密度

同样，我们先简单给出定义：

对于 X, Y 两个随机变量，其联合密度函数已知：f(x,y)f(x,y)f(x,y)，又已知了它们的边缘密度函数 fX(x),fY(y)f_X(x), f_Y(y)fX​(x),fY​(y)

如果 fY(y)>0f_Y(y)>0fY​(y)>0，那么在 Y = y 的条件下 X 的条件分布函数即为：F(x∣y)=∫−∞xf(u,y)fY(y)duF(x|y) = \int_{-∞}^x\frac{f(u, y)}{f_Y(y)}duF(x∣y)=∫−∞x​fY​(y)f(u,y)​du

两边一同时求导就可以得到 X 的条件密度函数了（值得一提的是，对等式右边是一个变上限积分的求导）得到f(x∣y)=F′(x∣y)=f(x,y)fY(y)(1)f(x|y) = F'(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\tag{1}f(x∣y)=F′(x∣y)=fY​(y)f(x,y)​(1)

同理，Y 的条件密度函数也是一样的：f(y∣x)=f(x,y)fX(x)(2)f(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}\tag{2}f(y∣x)=fX​(x)f(x,y)​(2)

不过大家在计算的时候要注意一点：如果题目是这样问的：求 f(y∣x=2)f(y|x = 2)f(y∣x=2)，那么我们的计算公式就应该变成：f(2,y)fX(2)\frac{f(2, y)}{f_X(2)}fX​(2)f(2,y)​

好啦，这就是本次 BlogBlogBlog 的全部内容，下一篇 BlogBlogBlog 我们将会学习二维随机变量函数的分布和分布密度（包括离散型和连续型）

【概率论与数理统计 Probability and Statistics 9】——二维随机变量的条件分布（离散+连续）与条件密度（连续）