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一、概率的公理化表述：

我们在前面的随机事件的定义都是比较口语化的：随机试验的结果就是随机事件嘛。今天我们给出公理化的定义：随机事件都要满足下面三个公理：

非负性：对于任意事件 A A A，有： 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 0≤P(A) ≤1 0≤P(A)≤1；规范性： P ( Ω ) = 1 P(Ω) = 1 P(Ω)=1；可加性：对于两两互斥的事件 A 1 , A 2 , ⋯ , A n A_1, A_2,\cdots, A_n A1​,A2​,⋯,An​，有： P ( ⋃ i = 1 n A i ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) P(\bigcup_{i=1}^nA_i) =\sum_{i=1}^nP(A_i) P(⋃i=1n​Ai​)=∑i=1n​P(Ai​)

二、概率的八大性质及其证明

下面是概率的八大性质以及部分证明：

【性质一】非负性：对于任意事件 A A A，有： 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 0≤P(A) ≤1 0≤P(A)≤1；

【性质二】规范性： P ( Ω ) = 1 P(Ω) = 1 P(Ω)=1；

【性质三】可加性：若事件 A A A 与事件 B B B 互斥，则 P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) P(A+B) = P(A)+P(B) P(A+B)=P(A)+P(B)

【性质四】 P ( Φ ) = 0 P(Φ) = 0 P(Φ)=0

证 明 \footnotesize\color {DarkOrchid}{证明} 证明： A = A + Φ A = A + Φ A=A+Φ；因此， P ( A ) = P ( A + Φ ) P(A) = P(A + Φ) P(A)=P(A+Φ)，又由于事件 A A A 与空集 Φ Φ Φ 是互斥的，因此： P ( A ) = P ( A ) + P ( Φ ) P(A) = P(A) + P(Φ) P(A)=P(A)+P(Φ)，故 P ( Φ ) = 0 P(Φ) = 0 P(Φ)=0

这里补充一个小插曲：我们知道，不可能事件的概率是0，那么概率为0的事件是不是不可能事件呢？

答案是：No！！以几何概型为例，我们朝一根线段上扔一个质点，质点落在点（1，0）上的概率是0吧，因为（1，0）没有长度啊，所以概率是0，但是这件事不是不可能的噢，没准一扔刚好就是在那个（1，0）上了呢对吧。

【性质五】若： A ⊂ B A \sub B A⊂B，则 P ( A ) ≤ P ( B ) P(A) ≤ P(B) P(A)≤P(B)

证 明 \footnotesize\color {DarkOrchid}{证明} 证明：我们知道 B = B − A + A = ( B − A ) + A B = B-A+A = (B-A)+A B=B−A+A=(B−A)+A，那么我们发现：事件 ( B − A ) (B-A) (B−A) 和事件 A A A 是互斥事件，因此右完全可加定理【性质三】可知： P ( B ) = P ( B − A ) + P ( A ) P(B) = P(B-A)+P(A) P(B)=P(B−A)+P(A)

又由概率的非负性可知： P ( B − A ) ≥ 0 P(B-A) ≥ 0 P(B−A)≥0，因此得出： P ( B ) ≥ P ( A ) P(B) ≥ P(A) P(B)≥P(A)

【性质六】对于任意事件， P ( A ) = 1 − P ( A ˉ ) P(A) = 1-P(\bar{A}) P(A)=1−P(Aˉ)

证 明 \footnotesize\color {DarkOrchid}{证明} 证明：由于 A + A ˉ = Ω A + \bar{A} = Ω A+Aˉ=Ω，因此： P ( A + A ˉ ) = P ( Ω ) = 1 P(A+\bar{A}) = P(Ω) = 1 P(A+Aˉ)=P(Ω)=1，又因为 A A A 与 A ˉ \bar{A} Aˉ 是互斥事件，因此： P ( A ) + P ( A ˉ ) = 1 P(A) + P(\bar{A}) = 1 P(A)+P(Aˉ)=1。因此： P ( A ) = 1 − P ( A ˉ ) P(A) = 1-P(\bar{A}) P(A)=1−P(Aˉ)

【性质七】对于任意事件，都有： P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A-B) = P(A) - P(AB) P(A−B)=P(A)−P(AB)

证 明 \footnotesize\color {DarkOrchid}{证明} 证明：我们从一个新的角度去可视化理解这个证明。

我们知道任意的两个事件，无非就是三个关系—— 互斥、包含和相交。我们看看：

我们看看第一种：互斥的情况，假如 A , B A, B A,B 互斥， A − B A - B A−B 表示从 A A A 中减去 B B B 的部分，可是这俩事件都没有公共部分，因此 A − B = A A - B = A A−B=A，即 P ( A − B ) = P ( A ) P(A-B) = P(A) P(A−B)=P(A)，对应地， P ( A B ) = 0 P(AB) = 0 P(AB)=0。因此，就有： P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A - B) = P(A) - P(AB) P(A−B)=P(A)−P(AB)

我们接着看第二个情况：包含，如果是 A A A 包含 B B B，那么 A − B A-B A−B 就是货真价实的从 A A A 中减去 B B B，这是不是相当于从 A A A 中减去 A , B A, B A,B 的公共部分？因为 A B = B AB = B AB=B！也就是： A − B = A − A B A-B = A-AB A−B=A−AB，那么就有： P ( A ) = P ( A − A B + A B ) = P ( A − A B ) + P ( A B ) = P ( A − B ) + P ( A B ) P(A) = P(A-AB+AB) = P(A-AB)+P(AB) = P(A-B) + P(AB) P(A)=P(A−AB+AB)=P(A−AB)+P(AB)=P(A−B)+P(AB)

即： P ( A − B ) = P ( A ) − P ( B ) P(A-B) = P(A) - P(B) P(A−B)=P(A)−P(B)

我们再来看看最后一种情况：相交。这俩事件相交，那么 A − B A -B A−B 依然表示的是从 A A A 中减去 B B B 的成分，而 A A A 中 B B B 的成分就是 A B AB AB！即： A − A B = A − B A-AB = A-B A−AB=A−B，那么 P ( A ) = P ( A − A B + A B ) = P ( A − A B ) + P ( A B ) = P ( A − B ) + P ( A B ) P(A) = P(A-AB+AB) = P(A-AB)+P(AB) = P(A-B) + P(AB) P(A)=P(A−AB+AB)=P(A−AB)+P(AB)=P(A−B)+P(AB)

所以稍作变换我们就可以得出： P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A-B) = P(A) - P(AB) P(A−B)=P(A)−P(AB)

【性质八】加法原理：对于任意的 A , B A, B A,B， P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB) P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)

证 明 \footnotesize\color {DarkOrchid}{证明} 证明：我们知道， A ∪ B = A + B − A B A∪B = A+B-AB A∪B=A+B−AB（因为 A B AB AB 加多了一次，要减掉）

因此， P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B − A B ) P(A∪B) = P(A)+P(B-AB) P(A∪B)=P(A)+P(B−AB)，对于 P ( B − A B ) P(B-AB) P(B−AB)，我们用性质七： P ( B − A B ) = P ( B ) − P ( A B ) P(B-AB) = P(B) - P(AB) P(B−AB)=P(B)−P(AB)

因此，我们得到： P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A∪B) = P(A)+P(B) - P(AB) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)

扩展：（ i m p o r t a n t important important）： P ( A + B + C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A B ) − P ( B C ) − P ( A C ) + P ( A B C ) P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) - P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(BC)−P(AC)+P(ABC)