文章目录
信号分解为正交函数1 矢量的正交分解2 信号的正交分解3 帕斯瓦尔定理信号分解为正交函数
1 矢量的正交分解
（1）矢量正交
复习：两矢量 V 1 V_1 V1与 V 2 V_2 V2正交，夹角为90°
两正交矢量的内积为零
（2）正交矢量集
由两两正交的矢量组成的矢量集合。
（3）非正交矢量的近似表示及误差
用与 V 2 V_2 V2成比例的矢量 c 12 V 2 c_{12}V_2 c12V2近似地表示 V 1 V_1 V1，则误差矢量
显然，当两矢量 V 1 V_1 V1与 V 2 V_2 V2正交时， c 12 = 0 c_{12}=0 c12=0，即 V 1 ⋅ V 2 = 0 V_1·V_2=0 V1⋅V2=0。
（4）矢量正交分解：任意 N N N维矢量可由N维正交坐标系表示。
推广到 n n n维空间： n n n维空间的任一矢量 V V V，可以精确地表示为 n n n个正交矢量的线性组合， 即
式中， V i ⋅ V j = 0 ( i ≠ j ) V_i·V_j=0 (i≠j) Vi⋅Vj=0(i=j)，第 r r r 个分量的系数
思路：将矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间：在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
2 信号的正交分解
（1）信号正交
注意是在区间内，超出区间就不一定了。
（2）正交函数集
（3）完备正交函数集
没有其他非零 φ ( t ) \varphi(t) φ(t)与 φ i \varphi_i φi正交，即把全部找到。
（4）信号的正交分解
和的平方 ≥ \ge ≥平方和
∗ * ∗：共轭
备注：这里的 φ i ( t ) \varphi_i(t) φi(t)就是你要找的正交函数。
3 帕斯瓦尔定理
帕斯瓦尔方程：
物理意义：在区间 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2)，信号f ( t ) f(t) f(t)所含有的能量``恒等于此信号在完备正交函数集中各正交分量能量之和，即能量守恒定理, 也称帕斯瓦尔定理。
数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。
《工程信号与系统》作者：郭宝龙等
中国大学MOOC：信号与系统 ，西安电子科技大学，郭宝龙，朱娟娟
