线性空间与线性变换
综述1.1 线性空间1.1.3 线性空间的基与坐标1.1.4 基变换与坐标变换综述
本系列博文主要总结学习矩阵论的心得笔记，参考数目《矩阵论》–张凯院；整个文章的整理体系参照行书过程。
1.1 线性空间
1.1.3 线性空间的基与坐标
向量的坐标有利于借助数量运算实现向量运算，所以引进向量的坐标是十分必要的。
基：设集合V是数域K上的线性空间，x1,x2,...,xr（r>=1）x_1,x_2,...,x_r（r>=1）x1,x2,...,xr（r>=1）是属于V的任意r个向量，这r个向量线性无关；且V中任意一个向量x都可以由x1,x2,...,xrx_1,x_2,...,x_rx1,x2,...,xr线性表示。则x1,x2,...,xrx_1,x_2,...,x_rx1,x2,...,xr是V的一组基。线性空间的基是不唯一的。
坐标：集合V中的任意一个向量x在一组基下的线性表示系数，为这个向量在该组基下的坐标。且每一个向量在同一组基下的坐标表示是唯一的。（唯一性的证明：设两组坐标表示，相等移项，有基线性无关，推导系数为零，导出坐标表示唯一）
在线性空间中引入向量坐标的概念后，抽象的向量和向量组的有关问题可以转化为坐标运算的问题。
1.1.4 基变换与坐标变换
因为线性空间的基是不唯一的，所以同一向量在不同基下的坐标表示一般是不同的。当基变换时，同一向量的坐标该如何变化？
基变换公式：
旧基：x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn
新基：y1,y2,...,yny_1,y_2,...,y_ny1,y2,...,yn
新基向量用旧基线性表示：
{y1=c11x1+c21x2+...+cn1xny2=c12x1+c22x2+...+cn2xn......yn=c1nx1+c2nx2+...+cnnxn\left\{ \begin{aligned} y_1=c_{11}x_1+c_{21}x_2+...+c_{n1}x_n \\ y_2=c_{12}x_1+c_{22}x_2+...+c_{n2}x_n \\ ... ...\\ y_n=c_{1n}x_1+c_{2n}x_2+...+c_{nn}x_n \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧y1=c11x1+c21x2+...+cn1xny2=c12x1+c22x2+...+cn2xn......yn=c1nx1+c2nx2+...+cnnxn
=>
(y1,y2,...,yn)=(x1,x2,...,xn)C(y_1,y_2,...,y_n)=(x_1,x_2,...,x_n)C (y1,y2,...,yn)=(x1,x2,...,xn)C
C=[c11c12...c1nc21c22...c2n............cn1cn2...cnn]C=\begin{gathered} \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12}&...&c_{1n} \\ c_{21} & c_{22}&...&c_{2n} \\ ... & ...&...&... \\c_{n1} & c_{n2}&...&c_{nn} \\\end{bmatrix} \end{gathered} C=⎣⎢⎢⎡c11c21...cn1c12c22...cn2............c1nc2n...cnn⎦⎥⎥⎤
C为旧基改变为新基的过度矩阵。坐标变换：
向量x在新旧两组基下的坐标表示：
旧基坐标表示：α=(ξ1,ξ2,...,ξn)T\alpha =(\xi_1,\xi_2,...,\xi_n)^Tα=(ξ1,ξ2,...,ξn)T
新基坐标表示：β=(η1,η2,...,ηn)T\beta =(\eta_1,\eta_2,...,\eta_n)^Tβ=(η1,η2,...,ηn)T
x=(x1,x2,...,xn)α=(y1,y2,...,yn)β=(x1,x2,...,xn)Cβx=(x_1,x_2,...,x_n)\alpha=(y_1,y_2,...,y_n)\beta=(x_1,x_2,...,x_n)C\beta x=(x1,x2,...,xn)α=(y1,y2,...,yn)β=(x1,x2,...,xn)Cβ
=>
α=Cβ∣∣β=C−1α\alpha=C\beta ||\beta=C^{-1}\alpha α=Cβ∣∣β=C−1α
