设函数z=f(x y)在某区域内有二阶连续偏导数 且f(x 2x)=x f'x(x 2x)=x^2

问题补充：

设函数z=f(x,y)在某区域内有二阶连续偏导数,且f(x,2x)=x,fx(x,2x)=x^2,f\xy(x,2x)=x^3,求f\yy(x,2x)

答案：

关键在于将y=2x在求导中按复合函数来处理,首先在f(x,2x)=x两边对x求导数,根据复合函数求导法则,有fx+fy*(2x)=1,即fx+2fy=1,由于fx=x^2,所以fy=(1-x^2)/2,在上式两边对x求导,有f\yx+f\yy*(2x)=-2x/2,即f\yx+2f\yy=-x,由于f有二阶连续偏导,故f\yx=f\xy=x^3,所以f\yy=-(x^3+x)/2.