问题补充:
如图所示,已知△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于D,交AC于E,过D作DF⊥AC于F.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)连接DE,若AB=AC=13,BC=10,求△CDE的面积.
答案:
解:(1)连接OD,AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴DB=DC,
∵OA=OB,
∴OD是△ABC的中位线,
即:OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴DF⊥OD.
∴DF是⊙O的切线.
(2)∵ABDE是⊙O的内接四边形,
∴∠DEC=∠B,又∠C为公共角,
∴△CDE∽△CAB,
∵AB=13,BC=10,由(1)得AD⊥BC,
∴CD=5,
∴AD=12.
S△ABC=BC?AD=×10×12=60.
∵△CDE∽△CAB,
∴==.
∴S△CDE:S△CAB=25:169.
∴S△CDE=60×=.
解析分析:(1)连接OD,AD,根据直径所对的圆周角是直角以及AB=AC,得到DB=DC,OD是△ABC的中位线,所以OD∥AC,再由DF⊥AC得到DF⊥OD,可以证明DF是⊙O的切线.
(2)利用两角对应相等,可以证明△CDE∽△CAB,然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方可以求出△CDE的面积.
点评:本题考查的是切线的判定,(1)利用直径所对的圆周角是直角以及中位线的性质,得到OD∥AC,再根据已知条件证明DF⊥OD,可以证明DF是圆的切线.(2)先证明两三角形相似,再用相似三角形的性质求出△CDE的面积.
如图所示 已知△ABC中 AB=AC 以AB为直径作⊙O交BC于D 交AC于E 过D作DF⊥AC于F.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)连接DE 若AB=AC=13