问题补充:
已知线段AC=8,BD=6.
(1)已知线段AC垂直于线段BD.设图1,图2和图3中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2和S3,则S1=______,S2=______,S3=______;
(2)如图4,对于线段AC与线段BD垂直相交(垂足O不与点A,C,B,D重合)的任意情形,请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想,并证明你的猜想;
(3)当线段BD与AC(或CA)的延长线垂直相交时,猜想顺次连接点A,B,C,D,A所围成的封闭图形的面积是多少?
答案:
解:(1)S1=24,S2=24,S3=24;
(2)对于线段AC与线段BD垂直相交(垂足O不与点A,C,B,D重合)的任意情形,四边形ABCD的面积为定值24.
证明如下:
∵AC⊥BD,
∴S△BAC=AC?OB,S△DAC=AC?OD,
∴S四边形ABCD=AC?OB+AC?OD=AC?(OB+OD)=AC?BD=24.
(3)顺次连接点A,B,C,D,A所围成的封闭图形的面积仍为24.
证明:∵AC⊥BD,
∴S△ABD=AO?BD,S△BCD=CO?BD,
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AO?BD+CO?BD=BD(AO+CO)=BD?AC=24.
解析分析:(1)根据三角形的面积公式进行计算;
(2)根据(1)中的计算结果,发现三个图形的面积都是24.根据三角形的面积公式进行证明;
(3)仍然把四边形的面积分割成两个三角形,按三角形的面积公式进行证明.
点评:此题注意发现:对角线互相垂直的四边形的面积总等于对角线乘积的一半.
已知线段AC=8 BD=6.(1)已知线段AC垂直于线段BD.设图1 图2和图3中的四边形ABCD的面积分别为S1 S2和S3 则S1=______ S2=_____