问题补充:
在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M为AB的中点.
(Ⅰ)证明:AC⊥SB;
(Ⅱ)求二面角N-CM-B的大小;
(Ⅲ)求点B到平面SCM的距离.
答案:
证明:(Ⅰ)取AC中点D,连接DS、DB.
∵SA=SC,BA=BC,
∴AC⊥SD且AC⊥DB,
∴AC⊥平面SDB,又SB?平面SDB,
∴AC⊥SB.
(Ⅱ)解:∵SD⊥AC,平面SAC⊥平面ABC,
∴SD⊥平面ABC.
过D作DE⊥CM于E,连接SE,则SE⊥CM,
∴∠SED为二面角S-CM-A的平面角.
由已知有,所以DE=1,又SA=SC=2,AC=4,∴SD=2.
在Rt△SDE中,tan∠SED==2,
∴二面角S-CM-A的大小为arctan2.
(Ⅲ)解:在Rt△SDE中,SE=,CM是边长为4正△ABC的中线,.
∴S△SCM=CM?SE=,
设点B到平面SCM的距离为h,
由VB-SCM=VS-CMB,SD⊥平面ABC,得S△SCM?h=S△CMB?SD,
∴h=.即点B到平面SCM的距离为.
解析分析:(Ⅰ)欲证AC⊥SB,取AC中点D,连接DS、DB.根据线面垂直的性质定理可知,只须证AC⊥SD且AC⊥DB,即得;(Ⅱ)欲求二面角N-CM-B的大小,可先作出二面角的平面角,结合SD⊥平面ABC.过D作DE⊥CM于E,连接SE,则SE⊥CM,从而得出∠SED为二面角S-CM-A的平面角.最后在Rt△SDE中求解即可;(Ⅲ)设点B到平面SCM的距离为h,利用等到体积法:VB-SCM=VS-CMB,即可求得点B到平面SCM的距离.
点评:本小题主要考查直线与直线,直线与平面,二面角,点到平面的距离等基础知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力.
在三棱锥S-ABC中 △ABC是边长为4的正三角形 平面SAC⊥平面ABC SA=SC=2 M为AB的中点.(Ⅰ)证明:AC⊥SB;(Ⅱ)求二面角N-CM-B的大小;