√2在数学史上占着重要的位置，他是人们从有理数到无理数的认识的转折点。当时人们发现直角边长为1的等腰直角三角形的斜边是不能精确测量的，也就是说不能用有理数来表示， 这样就引发了数学史上的第一次危机。因为古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“大自然的一切皆为整数之比”的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的。当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表示为整数之比”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。据说，第一个发现这个现象的人叫做希帕索斯，但是他这个发现触犯的毕达哥拉斯学派的权威， 最后被淹死在大海之中。不过谁也无法阻止历史前进的步伐，无理数最终还是被人们接受，成为数里面不可或缺的一员。下面给出√2是无理数的几种证明。
方法1. 反证法: 假设√2=p/q, 这里p,q 都是正整数，且他们之间不存在约数。等式两边平方可以得到2q*q = p*p。通过分析这个等式，可以知道等式两边都是偶数。因为偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数， 所以p肯定是偶数。若q也是偶数，则p, q有一个共因子2，与假设矛盾。若q是奇数， q*q也是奇数，则等式左边不能被4整除， 等式右边能够被4整除，矛盾。所以， √2不能是有理数， 只能是无理数。
方法2. 利用因式分解的唯一性。若2q*q = p*p成立，可以看出等式右边的因式分解，所有的因式的个数都是偶数倍，而等式左边的因式分解的个数存在奇数倍的情况，矛盾。所以， √2不能是有理数， 只能是无理数。
方法3. (辗转相除法)图中的BC和BD之间进行辗转相除为什么永远不能停止。把BD减去BC，剩下一段DE。以DE为边做一个新的小正方形DEFG，那么显然DE=EF=FC（∵△EDF为等腰直角且△BEF≌△BCF）。接下来我们应该在BC和DE间辗转相除。BC就等于CD，CD减去一个DE相当于减去一个FC，就只剩下一段DF了。现在轮到DE和DF之间辗转相除，而它们是一个新的正方形的边和对角线，其比例正好与最初的BC和BD相当。于是，这个操作再次回到原问题，并且无限递归下去。最后的结论用我们的话说就是，不存在一个数x使得BC和BD的长度都是x的整倍数。于是，BD/BC不能表示为两个整数之比p/q（否则BD/p=BC/q，这就成为了那个x）。这样就证明了BD（可以是√2或者其他等腰直角三角形的斜边长）只能是无理数了。
这里只是抛转引玉，给出了√2是无理数的三种证明方法，这些方法都是教科书上常见的证明方法，大家可以通过分析思考更多的新颖的证明方法。如考虑平方数的尾数等等。
