解不等式的基本思想是根据不等式的基本性质,进行等价转换,划归为一元一次不等式或一元二次不等式(组)来解.解不等式是一个同解变形的过程,常常运用分类讨论、数形结合的思想方法,同时还应注意不等式与方程、函数及其他知识的联系.
点评:
不等式的证明因题而异,技巧性强。基本方法有比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法,此外,还有放缩法、构造法(如构造函数、方程、向量、复数、几何、抽屉等模型、换元法、估计法、调整法、假设法、概率法、求导法、递推法、待定系数法等.
不等式的证明,除掌握一些基本方法外,还要能娴熟地运用著名不等式(如均值不等式、柯西不等式、排序不等式等)以及它们的各种变式。代数变形能力和计算能力是不等式证明的基础。
1.分段讨论法
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基于上题可以看出,划分区间段的重要性,在区间段的划分过程中,坚持做到“不重不漏”原则,求解每个区间上的不等式时要和区间取交集,最后的结果是要将每个区间段的结果取并集.
2.平方法
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3.数形结合法
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4.换元法
在解决绝对值不等式问题时,不等式常常会涉及复杂参数,与其他数学知识相类似,我们可以采用换元法进行讨论,将复杂的参数问题转化为简单的不等式再进行求解,在此方法中,换元是解题成功的关键。
点评:
换元法对结构较为复杂、变量较多、变量间关系不甚明了的不等式,则可适当引入新变量,通三角代换、过代换,简化原有结构,实现某种变通,给证明的成功带来新的转机.常用的变量替换有:局部代换、整体代换等。常见的三角换元有:
5.构造法
对于含参数及绝对值的二次函数的最值问题,一般可以先考虑区间的端点及区间中点,然后借助绝对值不等式,合理配凑,最终得到所求的最优解。
点评:
构造法针对欲证不等式的特点,通过观察、类比,展开联想,抓住知识间的横向联系,构造出符合要求的数、式、函数、图形等数学模型,通过转化,达到证明的目的.构造法对思维的要求比较高,是具有一定创造性。
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6.反证法
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反证法证明的主要步骤是:
(1)第一步,反设:作出与求证结论相反的假设;
(2)第二步,归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;
(3)第三步,结论:说明假设不成立,从而肯定原命题成立.
7.放缩法
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8.数学归纳法
9.导数法
利用导数作为工具判断函数的单调性,从而求出非基本初等函数的最值.
解析:
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10.抽屉原理法
文章选自:解忧数学杂货店