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初高中衔接知识专题(三) 二次函数与一元二次不等式

时间:2023-11-15 17:55:14

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初高中衔接知识专题(三) 二次函数与一元二次不等式

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来考察一下二次函数y=x2-x-6, 我们把这个函数的图象画出来:

现在我们从两个角度来观察这个图象:

一个是以x轴为分界线, 观察这个图象在x轴上方的部分, x轴下方的部分和与x轴的交点.

另一个是这三个部分对应的y值的正负和x值的取值范围.

通过观察我们会发现:

x轴上方部分. 对应的y值都是正的, 即y>0, 而对应的x的值则有两部分: 一部分在-2的左边, 一部分在3的右边. 即: x<-2或者x>3.

而在y轴下方部分, y<0, -2<x<3.

函数图象与x轴的交点, y=0, x=-2或x=3.

通过以上分析, 我们得出以下结论:

当y=x2-x-6>0时, x<-2或者x>3.

当y=x2-x-6<0时,-2<x<3.

当y=x2-x-6=0时, x=-2或x=3.

同时我们还发现:

与y的范围对应的x的取值范围都与-2和3有关, 这两个点起到区分作用.

而-2和3就是方程x2-x-6=0的根. 而对应的, 两个不等式:

x2-x-6>0中的x满足:x<-2或x>3.

x2-x-6<0中的x满足:-2<x<3.

上面这两个不等式就称为一元二次不等式, 它们对应的x的取值范围, 就是它们的解集.

例 解不等式: x2-2x-15>0.

解:从上面的讨论我们可以知道, 要先解方程 x2-2x-15=0, 得

x=-3或x=5.

画出函数y=x2-2x-15的草图(以后熟悉了可以不画):

可以看出当x<-2或x>5时,y=x2-2x-15>0.

∴x2-2x-15>0的解集为

x<-2或x>5.

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