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正交多项式模型 orthogonal polynomial model英语短句 例句大全

时间:2021-03-18 14:07:29

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正交多项式模型 orthogonal polynomial model英语短句 例句大全

正交多项式模型,orthogonal polynomial model

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延伸阅读

正交多项式由多项式构成的正交函数系的通称。正交多项式最简单的例子是勒让德多项式,此外还有雅可比多项式、切比雪夫多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式等,它们在微分方程、函数逼近等研究中都是极有用的工具。设ω(x)是定义在区间[α,b]上的非负可积函数,如果它满足条件,则称 ω(x)为一个权函数。如果定义在[α,b]上的函数 ??(x)与g(x)满足等式 ,则称它们在[α,b]上关于权ω(x)是正交的,并称[α,b]为它们的正交区间。对于给定的区间 [α,b]及其上的权函数ω(x),从幂函数序列出发,可以构造一列多项式:(1)使得pn(x)的次数是n,而且其中任意两个多项式在[α,b]上都关于ω(x)正交,这时称 (1)为在[α,b]上关于权ω(x)的正交多项式系,并称(1)中每一个多项式为正交多项式。如果正交多项式系(1)还满足条件·,则称(1)为在 [α,b]上关于权ω(x)的规范正交多项式系。为了构造(1),先计算积分,然后记Δ -1=1以及则就是在[α,b]上关于权ω(x)的一个正交多项式系。常记 则n(x)的首项系数为1,n(x)的首项系数是正的,而且{n(x)}是在[α,b]上关于权ω(x)的规范正交多项式系。对于同一权函数的正交多项式系虽然很多,但是首项系数为 1的正交多项式系或首项系数为正的规范正交多项式系却是由权ω(x)所惟一确定的。任一n次多项式都可表示为p0(x),p1(x),...,pn(x)的线性组合。pn(x)的零点全部位于(α,b)中,而且pn+1(x)的相邻两个零点间都有pn(x)的一个零点。此外,对于n=0,1,...都有如下的递推公式:(2)式中 假设函数??(x)在[α,b]上关于ω(x)平方可积, 即,则称为??关于的傅里叶系数,为??的傅里叶级数。若记这个级数前n+1项之和为Sn(??,x),则对任何次数小于n的多项式q(x)有而且当n→∞时,这个不等式左边所表示的偏差收敛于零。对于任何正交多项式系,都有连续函数使其傅里叶级数不一致收敛。为了研究傅里叶级数的收敛性,常记 称为核。显然。关于核Kn(x,t)有如下的克里斯托费尔-达布公式由此易证:若在点x处有界,而且函数关于权ω(t)平方可积,则Sn(??,x)收敛于??(x)。常用的正交多项式是关于正交的雅可比多项式 式中α>-1,β>-1,是给定的实数,对于,有 可以算出,此时递推公式(2)中的α=β的情况比较简单,称作超球多项式。当α=β=0,也即关于权时,相应的正交多项式称作勒让德多项式,它还可表成 ??,也即关于权相应的正交多项式称作切比雪夫多项式,它有表达式当,也即关于权,相应的正交多项式称作第二类切比雪夫多项式,它有表达式这些正交多项式的正交区间都是[-1,1]。它们不仅本身有广泛的应用,而且其零点还常作为插值过程的结点。此外,还是二阶线性齐次微分方程 的解。如果讨论的是无限区间[0,+∞),则常考虑以或为权的正交多项式系与,它们依次称作拉盖尔多项式与埃尔米特多项式,其表达式是递推公式是Ln(x)与Hn(x)还依次满足微分方程上述理论完全可能推广为如下形式:设ψ(x)是区间[α,b]上的非减函数,。如果定义在[α,b]上的函数??(x)与g(x)满足等式,则称他们在[α,b]上关于权 ψ(x)正交。这里的积分是勒贝格-斯蒂尔杰斯意义下的积分。为区别上述情况,人们称这时的权函数 ψ(x)为积分权,而将前面的权函数ω(x)称作微分权。由积分权出发建立的正交多项式理论自然要广泛一些。此外,还可建立多元的正交多项式理论。

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