典型例题分析1:
已知命题p:x∈R,x2+2x+3=0,则¬p是
A.x∈R,x2+2x+3≠0 B.x∈R,x2+2x+3=0
C.x∈R,x2+2x+3≠0 D.x∈R,x2+2x+3=0
解:因为特称命题的否定是全称命题,所以命题p:x∈R,x2+2x+3=0,则¬p是:x∈R,x2+2x+3≠0.
故选:A.
考点分析:
命题的否定.
题干分析:
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.
典型例题分析2:
已知集合A={x|x2﹣2x﹣8>0},B={﹣3,﹣1,1,3,5},则A∩B=
A.{﹣1,1,3} B.{﹣3,﹣1,1} C.{﹣3,5} D.{3,5}
解:由x2﹣2x﹣8>0,得到(x﹣4)(x+2)>0,解得x>4或x<﹣2,
∴A=(﹣∞,2)∪(4,+∞),
又B={﹣3,﹣1,1,3,5},
∴A∩B={﹣3,5}.
故选C.
考点分析:
交集及其运算.
题干分析:
通过不等式的解法求出集合A,然后求解交集即可.
典型例题分析3:
已知a,b为实数,则“a+b≤2”是“a≤1且b≤1”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解:若a=﹣4,b=1,满足a+b≤2,但a≤1且b≤1不成立,即充分性不成立,
若a≤1且b≤1,则a+b≤2成立,即必要性不成立,
故“a+b≤2”是“a≤1且b≤1”的必要不充分条件,
故选:B.
考点分析:
必要条件、充分条件与充要条件的判断.
题干分析:
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
典型例题分析4:
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=3x,若1/2<a<3/4,关于x的方程ax+3a﹣f(x)=0在区间上[﹣3,2]不相等的实数根的个数为 .
解:∵f(x+2)=f(x),
∴函数f(x)是周期为2的周期函数,
若x∈[﹣1,0]时,则﹣x∈[0,1],
∵当x∈[0,1]时,f(x)=3x,
∴当﹣x∈[0,1]时,f(﹣x)=﹣3x,
∵函数f(x)是偶函数,
∴f(﹣x)=﹣3x=f(x),
即f(x)=﹣3x,x∈[﹣1,0],
由ax+3a﹣f(x)=0得a(x+3)=f(x),
设g(x)=a(x+3),
分别作出函数f(x),g(x)在区间上[﹣3,2]上的图象如图:
∵1/2<a<3/4,
∴当a=1/2和3/4时,对应的直线为两条虚线,
则由图象知两个函数有5个不同的交点,
故方程有5个不同的根,
故答案为:5.
考点分析:
根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质.
题干分析:
根据函数奇偶性和周期性的关系求出函数f(x)的解析式,利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题,利用数形结合进行求解即可.