1．等边三角形共顶点
等边△ABC与等边△DCE，B、C、E三点共线．
连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH，则：
（1）△BCD≌△ACE；
（2）AE＝BD；
（3）∠AFB＝∠DFE＝60°；
（4）FC平分∠BFE；
（5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；
（6）△CGH为等边三角形．
方法二 由∠CAF＝∠CBF，可得A、B、C、F四点共圆，所以∠BFC＝∠BAC＝60°，同理可得∠CFE＝∠CDE＝60°．所以FC平分∠BFE．
（5）如图2，作∠FCI＝60°，交BD于点I，则△CFI为等边三角形．
易证△BCI≌△ACF，所以BI＝AF，IF＝CI＝FC．
从而BF＝BI＋IF＝AF＋CF．同理可得EF＝DF＋FC．
【典型例题1】如图1，在△ABC中，BC＝4，以线段AB为边作△ABD，使得AD＝BD，连结DC，再以DC为边作△CDE，使得DC＝DE，∠CDE＝∠ADB＝a．
（1）如图2，当∠CDE＝45°且＝90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；
（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连结BF，AF．
①若＝90°，依题意补全图3，求线段AF的长；
②请直接写出线段AF的长（用含的式子表示）
【典型例题2】如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE绕A点顺时旋转一定角度，连结BD，CE，得到图2，然后将BD，CE分别延长至M、N，使DM＝0.5BD，EN＝0.5CE，连结AM，AN，MN，得到图3．
（1）若AB＝AC，请探究下列数量关系:
①在图2中，BD与CE的数量关系是?
②在图3中，猜想AM与AN的数量关系，∠MAN与∠BAC的数量关系，丙证明你的猜想?
（2）若AB＝· AC（K＞1），按上述操作方法，得到图4，请继续探究：AM与AN的数量关系；∠MAN与∠BAC的数量关系．
