因此欲证明不等式a1a2…an＜2n!成立，只需要证明对一切非零自然数n，不等式（1﹣1/3）（1﹣1/32）（1﹣1/33）…（1﹣1/3n）＞1/2恒成立即可，
显然左端每个因式都为正数，且因
1﹣（1/3+1/32+1/33+…+1/3n）
=1﹣1/3·（1﹣1/3n）/（1﹣1/3n）
=1﹣（1﹣1/3n）/2＞1﹣1/2=1/2，
故只需要证明对非零自然数，不等式
（1﹣1/3）（1﹣1/32）（1﹣1/33）…（1﹣1/3n）≥1﹣（1/3+1/32+1/33+…+1/3n）
恒成立即可，
下面用数学归纳法证明该不等式成立，
①显然当n=1时，不等式1﹣1/3≥1﹣1/3成立，
②假设当n=k时不等式成立，
即（1﹣1/3）（1﹣1/32）（1﹣1/33）…（1﹣1/3k）≥1﹣（1/3+1/32+1/33+…+1/3k）成立，
那么当n=k+1时，
（1﹣1/3）（1﹣1/32）（1﹣1/33）…（1﹣1/3k）（1﹣1/3k+1）≥[1﹣（1/3+1/32+1/33+…+1/3k）]（1﹣1/3k+1），
即不等式右边=
1﹣（1/3+1/32+1/33+…+1/3k）﹣1/3k+1+1/3k+1（1/3+1/32+1/33+…+1/3k），
注意到1/3k+1（1/3+1/32+1/33+…+1/3k）＞0，
所以，
（1﹣1/3）（1﹣1/32）（1﹣1/33）…（1﹣1/3k）（1﹣1/3k+1）≥1﹣（1/3+1/32+1/33+…+1/3k+1/3k+1），
这说明当n=k+1时，不等式也成立，
由①②可知，不等式对一切非零自然数都成立，
考点分析：
数列与不等式的综合；数列的概念及简单表示法．
题干分析：
（Ⅰ）代值计算即可，
（Ⅱ）先利用分析法，要证明不等式成立，只需要证明等式（1﹣1/3）（1﹣1/32）（1﹣1/33）…（1﹣1/3n）≥1﹣（1/3+1/32+1/33+…+1/3n）恒成立即可，用数学归纳法证明即可．
