题1. 如图,在四边形ABCD中,BC=CD,∠C=2∠BAD,点O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OC,求证:四边形OBCD是菱形。
证明:∵OA=OB=OD
∴点A、B、D在以点O为圆心,AB为半径的圆上,如图所示,连接OC.
∴∠BOD=2∠BAD
∵∠BCD=2∠BAD
∴∠BCD=∠BOD
∵OB=OD,BC=CD,OC=OC
∴△OBC≌△ODC
∴∠BOC=∠COD,∠BCO=∠DCO
∴∠BOC=∠BCO
∴BO=BC
即 BO=BC=CD=DO
∴四边形OBCD是菱形.
题2. 如图,在△ABC中,AB=AC=2,点D在BC的延长线上,AD=4,求BD·CD.
【分析】首先,我们结合图形和要解决的问题:求BD·CD,应该立刻能联想到割线定理。
又因为AB=AC,所以,点B和C一定在以A为圆心,AB为半径的圆上。
那么,线段BD就是⊙A的割线,然后再找到另一条割线与已知条件联系起来,就利用圆的割线定理可完美解决问题。
解:如图,以点A为圆心,AB为半径作圆⊙A,交AD于点F,延长DA交⊙A于点E.
∵ 点B、C、E、F都是圆上的点
∴ AE=AE=AB=2
∴ DF=AD-AF=4-2=2,
DE=AD+AE=4+2=6
根据圆的割线定理,可得:
BD·CD=DE·DF=2×6=12
【总结】解决数学几何题绝对大部分情况都需要添加辅助线,而辅助线的好与坏直接关系到解题的质量和速度,好的辅助线往往能起到事半功倍的效果,能大大提升学习者的学习兴趣和积极性,使人能时常感到满满的成就感。
针对本题,聪明的,你,还有更好的解答方法吗?欢迎在评论区留言,看谁的方法更简单,谢谢!
题3. 如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠CDA=90°,AD=CD=5,AB=7,BC=1,求BD的值。
托密勒定理介绍:圆的内接凸四边形两对角线的积等于两对边的积的和。
解:方法一
如图,连接AC
∵ ∠CDA=90°
∴ AC^2=AD^2+CD^2=50
∴ AC=5√2
∵ ∠ABC+∠CDA=180°
∴ 四边形ABCD是圆的内接四边形,如图,
根据托密勒定理,得:
AC·BD=AD·BC+AB·CD
∴ BD=(AD·BC+AB·CD)/AC=4√2
方法二
如图,过点D作DE⊥BD,交BA的延长线于点E,垂足为D.
∵ ∠BDE=∠ADC=90°
∴ ∠ADE=∠CDB
在四边形ABCD中,
∵ ∠ABC+∠CDA=180°
∴ ∠BAD+∠C=180°
∴ ∠DAE=180°-∠BAD=∠C
∵ AD=CD
∴ △DAE≌△DCB(ASA)
∴ DE=DB,AE=BC=1
在Rt△BDE中,
BE=AB+AE=7+1=8
BD^2+DE^2=BE^2
即 BD^2=32
∴ BD=4√2