题1. 如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD，点O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OC，求证：四边形OBCD是菱形。
证明：∵OA＝OB＝OD
∴点A、B、D在以点O为圆心，AB为半径的圆上，如图所示，连接OC.
∴∠BOD＝2∠BAD
∵∠BCD＝2∠BAD
∴∠BCD＝∠BOD
∵OB＝OD，BC＝CD，OC＝OC
∴△OBC≌△ODC
∴∠BOC＝∠COD，∠BCO＝∠DCO
∴∠BOC＝∠BCO
∴BO＝BC
即 BO＝BC＝CD＝DO
∴四边形OBCD是菱形.
题2. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点D在BC的延长线上，AD＝4，求BD·CD.
【分析】首先，我们结合图形和要解决的问题：求BD·CD，应该立刻能联想到割线定理。
又因为AB＝AC，所以，点B和C一定在以A为圆心，AB为半径的圆上。
那么，线段BD就是⊙A的割线，然后再找到另一条割线与已知条件联系起来，就利用圆的割线定理可完美解决问题。
解：如图，以点A为圆心，AB为半径作圆⊙A，交AD于点F，延长DA交⊙A于点E.
∵ 点B、C、E、F都是圆上的点
∴ AE＝AE＝AB＝2
∴ DF＝AD-AF＝4-2＝2，
DE＝AD+AE＝4+2＝6
根据圆的割线定理，可得：
BD·CD＝DE·DF＝2×6＝12
【总结】解决数学几何题绝对大部分情况都需要添加辅助线，而辅助线的好与坏直接关系到解题的质量和速度，好的辅助线往往能起到事半功倍的效果，能大大提升学习者的学习兴趣和积极性，使人能时常感到满满的成就感。
针对本题，聪明的，你，还有更好的解答方法吗？欢迎在评论区留言，看谁的方法更简单，谢谢！
题3. 如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，AD＝CD＝5，AB＝7，BC＝1，求BD的值。
托密勒定理介绍：圆的内接凸四边形两对角线的积等于两对边的积的和。
解：方法一
如图，连接AC
∵ ∠CDA＝90°
∴ AC^2＝AD^2+CD^2＝50
∴ AC＝5√2
∵ ∠ABC+∠CDA＝180°
∴ 四边形ABCD是圆的内接四边形，如图，
根据托密勒定理，得：
AC·BD＝AD·BC+AB·CD
∴ BD＝(AD·BC+AB·CD)/AC＝4√2
方法二
如图，过点D作DE⊥BD，交BA的延长线于点E，垂足为D.
∵ ∠BDE＝∠ADC＝90°
∴ ∠ADE＝∠CDB
在四边形ABCD中，
∵ ∠ABC+∠CDA＝180°
∴ ∠BAD+∠C＝180°
∴ ∠DAE＝180°-∠BAD＝∠C
∵ AD＝CD
∴ △DAE≌△DCB（ASA）
∴ DE＝DB，AE＝BC＝1
在Rt△BDE中，
BE＝AB+AE＝7+1＝8
BD^2+DE^2＝BE^2
即 BD^2＝32
∴ BD＝4√2
