今天小侯七老师给大家发干货了！函数的性质以及极限的定义送给大家！
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知识就是力量
一：专题总结：函数的性质
l 奇偶性 区间关于原点对称
a) 若f（x）可导，f（x）为奇函数则f’（x）为偶函数
f（x）为偶函数则f’（x）为奇函数
b) 偶＋奇＝非奇非偶
c) 求方程的根的个数利用奇偶对称性
例题
d) 定积分计算时的简化计算
例题
e) 图像应用
f ) f（x）是连续的奇函数，所有原函数都是偶函数
f（x）是连续的偶函数，c＝0时 所有原函数都是奇函数
l 周期性
a) 若f（x）是可导的以T为周期的周期函数，则f’（x）也是以T为周期的周期函数
b) 可积f（x）以T为周期则F(x)＝以T为周期的充要条件=0
c) f（x）全体原函数周期为T等价于=0
l 单调性
a) 单调有界准则求数列极限
b) 研究函数性态
c) 求方程唯一零点
例题
l 有界性 在定义域上谈
a) 有界性M不一定是极限值，｜sinx｜小于等于a也可
b) 充要条件是要有上界与下界
c) 无穷小一定有界
d) 无穷大一定无界，无界量不一定无穷大
e) f’（x）在有限区间上有界则f（x）在区间上有界
考研
l 专题1:极限的定义
1函数极限的定义
定义
2.数列的极限证明：
目标：1.会写定义（仿照函数极限）
2.会做递推不等式用单调有界证明极限存在
例题
极限的三大性质
l 专题2:三大性质证明整理
a) 唯一性：反证法
假设f（x）在x趋于无穷时 有两个极限A，B，且A>B取ε=(A-B)/2，存在N1，当n>N1时，有 | f（x）-A|<(A-B)/2 (1)存在N2，当n>N2时，有 | f（x）-B|<(A-B)/2 (2)取N=max{N1，N2}，则当n>N时，上面两式同时成立(1)可化为：(B-A)/2< f（x）-A<(A-B)/2，可得 (B+A)/2< f（x）<(A-B)/2+A(2)可化为：(B-A)/2< f（x）-B<(A-B)/2，可得 (B-A)/2+B< f（x）<(A+B)/2出现矛盾，一个式子是f（x）>(A+B)/2，另一个是f（x）<(A+B)/2所以假设不成立，极限唯一
b) 局部保号性：证明函数极限大于0时，在x趋于x0，f(x)大于零。对任意的ε>0,在x趋于x0，存在δ>0, 满足 |f(x)-A|<ε, 即有 A-ε<f(x)<A+ε. 当取 ε=A/2，则上式变为 A/2<f(x) < 3A/2,在（x0-δ,x0+δ）上成立。 即找到一个区间上，f(x)大于零。
c) 局部有界性
例题
l 专题3:讨论函数在区间上有界性方法：
（1） 若区间为［a，b］那么根据“连续函数在［a，b］上必有界”直接可得
（2） 若区间为（a，b）那么：
（a） x趋向a＋ 函数极限存在
（b）x趋向b－ 函数极限存在
（c）函数在（a，b）内连续那么在［a，b］连续从而由 （1）得 出［a，b］有界
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