要正确理解函数的单调性，我们要注意以下三点：
1.函数的单调性是对某一个区间而言的。例如，函数f(x)在区间（-1,0）上是减函数，在（0,1）上是减函数，但在（-1,0）∪（0,1）上却不一定是减函数。例如函数f(x)=1/x等。
2.单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x,x具有任意性，不能用特殊值 代替。
如证明y=x^3在定义域上是增函数不能这样证明：
令x=1，x=2，x^3=1，x^3=8,
∵x＜x,
∴x^3＜x^3,
∴y=x^3是增函数。
但是证明一个函数不是增（减）函数时可以这样证明。
如证明y=x^2不是增函数。
∵x=1,x=-2,x^2=1,x^2=4，
∵x＜x,
∴x^2＜x^2,
∴y=x^2不是增函数.
3.由于定义都是可逆性命题，因此由f(x)是增（减）函数，且f(x)＜f(x)→x＜x（或x＞x），这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。
如：y=f(x)是定义在[-1,1]上的减函数，那么解不等式f(1-x)<f(3x-1).
解：∵y=f(x)是定义在[-1,1]上的减函数
∴-1≤1-x≤1①
-1≤3x-1≤1②
1-x<3x-1③
由①得：0≤x≤2
由②得：0≤x≤2/3
由③得：x>1/2
∴1/2<x≤2/3.
例1.求函数f(x)=√x^2+x-6的单调区间。
错解：设u=x^2+x-6=(x+1/2)^2-25/4,
u是x的二次函数，其图像为开口向上的抛物线，且对称轴为x=-1/2,
∴当x∈(-∞,-1/2)时，f(x)是减函数，当x∈(-1/2,+∞)时，f(x)是增函数。
错因分析：没有先确定f(x)的定义域，以致造成错误结论，在这里，还容易出现对f(x)和u的单调区间关系不清楚，不敢下结论。类似的还有f(x)与1/f(x)的单调区间的关系也不清楚。
正解：函数f(x)的定义域为（-∞，-3]∪[2,+∞),而u=x^2+x-6=(x+1/2)^2-25/4是对称轴为x=-1/2,开口向上的抛物线，故u在（-∞，-3]上是减函数，在[2,+∞)上是增函数，而y=√u在（0，+∞）上是增函数，所以f(x)的单调减区间为（-∞，-3]，单调增区间为[2,+∞)。
小结：在求函数单调区间时，因注意单调区间应在函数的定义域内，所以应先求函数的定义域。
