动点存在性问题一直是中考的热点和难点，其中相似三角形存在性问题是一种重要的题型，教学中教者发现，部分学生对于此类问题依然不能很好地去分析解决，甚至于脑海一片空白，甚是遗憾！尽管教者课堂上多次强调了解题策略，但还是无法起到全面覆盖性作用，借此文盼同学彻底掌握此种题型的通解通法，明白了解题原理真是简单！
我们知道，当题目表述成文字形式的“相似”而不是符号表达的“∽”，此时两个相似三角形就不存在对应关系，分类复杂难辨！但命此类题大多都是有迹可循的，往往题目中涉及的两个相似三角形会存在一组关键的相等角，这组相等的角一定是对应角，从而将复杂难辨的多种分类迅速简化成最多两类情形，下面一题来论，你会更清楚！解题的关键是找到一组关键的相等角，这是第一步，而这组相等的角有时题目会很明显地交代出来，有时比较隐晦，需要自己有意识地去寻找这些特殊关系！
类型1 纯几何的三角形相似的存在性问题
例1．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．
（1）如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；
（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；
（3）连接AC，是否存在△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，若存在求DE的长，若不存在，说明理由．
【分析】（1）由比例中项知AM/AE=AE/AN，据此可证△AME∽△AEN得∠AEM＝∠ANE，再证∠AEM＝∠DCE可得答案；
（2）先证∠ANE＝∠EAC，结合∠ANE＝∠DCE得∠DCE＝∠EAC，从而知DE/DC=DC/AD，据此求得AE＝8﹣9/2＝7/2，由（1）得∠AEM＝∠DCE，据此知AM/AE=DE/DC，求得AM＝21/8，由AM/AE=AE/AN求得MN＝49/24；
（3）分∠ENM＝∠EAC和∠ENM＝∠ECA两种情况分别求解可得．
【解答】（1）∵AE是AM和AN的比例中项∴AM/AE=AE/AN，
∵∠A＝∠A，∴△AME∽△AEN，∴∠AEM＝∠ANE，
∵∠D＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，
∵EM⊥BC，∴∠AEM+∠DEC＝90°，∴∠AEM＝∠DCE，∴∠ANE＝∠DCE；
（2）∵AC与NE互相垂直，∴∠EAC+∠AEN＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠ANE+∠AEN＝90°，∴∠ANE＝∠EAC，
由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠DCE＝∠EAC，
∴tan∠DCE＝tan∠DAC，∴DE/DC=DC/AD，
∵DC＝AB＝6，AD＝8，∴DE＝9/2，∴AE＝8﹣9/2＝7/2，
由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴tan∠AEM＝tan∠DCE，
∴AM/AE=DE/DC，∴AM＝21/8，
∵AM/AE＝AE/AN，∴AN＝14/3，∴MN＝49/24；
（3）存在。
理由：∵∠NME＝∠MAE+∠AEM，∠AEC＝∠D+∠DCE，
又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴∠AEC＝∠NME，
若当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时
①∠ENM＝∠EAC，如图2，
∴∠ANE＝∠EAC，由（2）得：DE＝9/2；
②∠ENM＝∠ECA，如图3，
过点E作EH⊥AC，垂足为点H，
由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠ECA＝∠DCE，∴HE＝DE，
又tan∠HAE＝HE/AH=DC/AD=6/8，
设DE＝3x，则HE＝3x，AH＝4x，AE＝5x，
又AE+DE＝AD，∴5x+3x＝8，解得x＝1，∴DE＝3x＝3，
综上所述，DE的长分别为9/2或3．
类型2 函数背景下的三角形相似的存在性问题
例2．已知抛物线y＝1/2x+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO＝S△PBC，求证：AP∥BC；
（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）令y＝0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OE＝CF，证明△OEG≌△CFG，则OG＝CG＝2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP和BC的解析式，k相等则两直线平行；
（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△ABE有可能相似，即△ABC和△BCE，
①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE＝∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；
②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．
【解答】（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y＝1/2x+bx+c中得：2-2b+c=0, c=-4，解得：b=-1,c=-4，
∴抛物线的解析式为：y＝1/2x2﹣x﹣4；
（2）当y＝0时，1/2x2﹣x﹣4＝0，
解得：x＝﹣2或4，
∴C（4，0），
如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，
∵S△PBO＝S△PBC，∴1/2PB·OE=1/2PB·CF，∴OE＝CF，
易得△OEG≌△CFG，∴OG＝CG＝2，
设P（x，1/2x﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，
tan∠PBM＝PM/BM=OG/OB=2/4=1/2，
∴BM＝2PM，∴4+1/2x﹣x﹣4＝2x，x﹣6x＝0，x＝0（舍），x＝6，
∴P（6，8），易得AP的解析式为：y＝x+2，BC的解析式为：y＝x﹣4，∴AP∥BC；
（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，
∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，
①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，
∵∠BAE＝∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE＝∠ACB＝45°，
∴△ABE∽△ACB，∴AB/AC=AE/AB，∴2√5/6=AE/2√5，
∴AE＝10/3，OE＝10/3﹣2＝4/3,∴E（4/3，0），
∵B（0，﹣4），易得BE：y＝3x﹣4，
则1/2x﹣x﹣4＝3x﹣4，x＝0（舍），x＝8，∴D（8，20）；
②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，此时E在C的左边，
∵∠BEA＝∠BEC，∴当∠ABE＝∠BCE时，△ABE∽△BCE，
∴AB/BC=BE/CE=2√5/4√5，
设BE＝2√5m，CE＝4√2m，
Rt△BOE中，由勾股定理得：BE＝OE+OB，
∴4+(4√2m-4) =(2√5 m) ，3m﹣8√2m+8＝0，
（m﹣2√2）（3m﹣2√2）＝0，
m＝2√2，m＝2√2/3，∴OE＝4√2m﹣4＝12或4/3，
∵OE＝4/3＜2，∠AEB或∠BEC是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，∴E（﹣12，0）；
同理得BE的解析式为：y＝﹣1/3x﹣4，
﹣1/3x﹣4＝1/2x﹣x﹣4，x＝4/3或0（舍）∴D（4/3，﹣40/9）；
同理可得E在C的右边时，△ABE∽△BCE，
∴OE＝﹣12（舍）或4/3，
∵OE＝4/3＜4，∠BEC是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，
综上，点D的坐标为（8，20）或（4/3，﹣40/9）．
牛刀小试：
1．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，动点P以2cm/s的速度在△ABC的边上沿A→B的方向匀速运动，动点Q在△ABC的边上沿C→A的方向匀速运动，P、Q两点同时出发，5s后，点P到达终点B，点Q立即停止运动（此时点Q尚未到达点A）．设点P运动的时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示．
（1）图①中AC＝______cm，点Q运动的速度为_____cm/s；
（2）求函数S的最大值；
（3）当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？请说明理由．
【参考答案】（1）8，1；
（2）过点P作PH⊥AQ于H，则PH∥BC，
由题意得，AP＝2t，CQ＝8﹣t，∴PH＝6/5t，
∴S＝1/2×6/5t×（8﹣t）＝﹣3/5t +24/5t＝﹣3/5（t﹣4）+48/5；
当t＝4s时，S有最大值＝48/5（cm2）；
（3）①∵∠A为公共角，
∴当AP：AB＝AQ：AC时，△APQ∽△ABC，∴2t/10=(8-t)/8，解得：t＝40/13s，
②∵∠A为公共角，
∴当AP：AC＝AQ：AB时，△APQ∽△ACB，
∴2t/10=(8-t)/10，解得：t＝16/7s，
综上所述，当t为49/13或16/7时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
（更多的配套练习留言可私信与我，会及时发送）
这一问题分类落脚点：
如△ABC 与 △DEF相似，在没有指明对应点的情况下，理论上应分六种情况讨论，但实际问题中通常不超过四种，常见有如下两种类型，每类分两种情况讨论就可以了。
A.两个直角三角形均为直角三角形，若△ABC 与 △DEF相似，∠B=∠C＝90°,则应有讨论△ABC ∽△DEF或△ABC ∽△FED;
B.两个三角形有一个公共角∠A，若△ABC 与 △AEF相似，则应有讨论△ABC ∽△AEF或△ABC ∽△AFE;
总之探究相似三角形的存在性（评注由动点产生的相似三角形问题的一般解题途径为：①若两个三角形各边均未给出，则应先设所求点的坐标，进而用变量表达式来表示各边的长度，再利用相似关系列方程求解．
②求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出其是否为特殊三角形，再根据未知三角形中，已知边与已知三角形中边的对应情形分类讨论。
