对于在已知条件的线上找点与已知点构成一定的角的问题，如果能根据题目的题设和结论，构造出符合题意特征的辅助圆，即把题目中的固定角转化为圆的圆周角问题，就能使问题得以顺利解决，这种方法利用数形结合，使代数与几何等知识相互渗透，综合应用，它不但能较好的达到解题的目的，还有利于培养学生分析问题的能力。
1 判定特殊角存在的个数
例1．如图1，新定义：直线l、l、l，相交于点O，长为m的线段AB在直线l上，点P是直线l上一点，点Q是直线l上一点．若∠AQB＝2∠APB，则我们称点P是点Q的伴侣点；
（1）如图1，直线l、l的夹角为30°，线段AB在点O右侧，且OA＝1，m＝2，若要使得∠APB＝45°且满足点P是点Q的伴侣点，则OQ＝______；
（2）如图2，若直线l、l的夹角为60°，且m＝3，若要使得∠APB＝30°，线段AB在直线l上左右移动．
①当OA的长为多少时，符合条件的伴侣点P有且只有一个？请说明理由；
②是否存在符合条件的伴侣点P有三个的情况？若存在，请直接写出OA长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用在一个圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，构造图形，确定出点Q位置，判断出直线l与圆M相切即可；
（2）①利用在一个圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的一半，构造图形，确定出点P位置，用三角函数计算即可；
②利用在一个圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的一半，构造图形，确定出点P位置，再用三角函数计算即可．
【解答】（1）如图1，取线段AB的中点M，过M作MQ⊥l，
∵∠BOQ＝30°，OM＝OA+1/2AB＝2，OQ＝√3，∴MQ＝1，
以M点为圆心1为半径的⊙M过点A，B，Q，∴∠AQB＝90°，
∵∠APB＝45°，∴∠AQB＝2∠APB＝90°，
∴此时的Q满足点P是点Q的伴侣点，OQ＝√3，故答案为√3，
（2）①如图2，当直线l与⊙C相切于点P，且A在O的右侧时，
则∠APB＝30°．连接CP，过A作AD⊥l于D．则AD＝CP＝3，
∴OA＝AD/sin60=2√3，
如图3，当直线l与⊙C相切于点P，且A在O的左侧时，则∠APB＝30°．
连结CP，过B作BE⊥l1于E．则BE＝CP＝3，
∴OB＝BE/sin60=2√3,∴OA＝2√3+3．
综上所述，当A在O的右侧，OA＝2 或A在O的左侧，OA＝2√3+3时，符合条件的点P有且只有一个
②存在，如图4，当直线l 与⊙C 相交于点P 、P ，与⊙C 相切于点P 时连结C P ，
过O作OF⊥BC 于F，则OF＝C2P3＝3，∴OB =BE/sin60=2√3, ∴OA＝2√3﹣3，
如图5，当直线l 与⊙C 相切于点P1，与⊙C2相交于点P 、P ,连接C P ，
过A作AG⊥l 于G。则AG＝C P ＝3，∴OA＝AG/sin60=2√3，
综上所述，当A在O的右侧，OA＝2 √3﹣3或A在O的左侧，OA＝2√3时，符合条件的点P有三个．
类型2 确定直角三角形存在性问题
例2．如图①是一副三角板，其中∠B＝∠E＝90°，∠A＝∠C＝45°，∠F＝30°，AC＝EF＝2．把两个三角板ABC和DEF叠放在一起（如图②），且使三角板DEF的直角顶点E与三角板ABC的斜边中点O重合，DE和OC重合．现将三角板DEF绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形BGEH是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图③）．
（1）当旋转角度为45°时，EG和AB之间的数量关系_____．
（2）当DF经过三角板ABC的顶点B，求旋转角α的度数．
（3）在三角板DEF绕O点旋转的过程中，在DF上是否存在一点P，使得∠APC＝90°，若存在，请利用直尺和圆规在DF上画出这个点，并说明理由，若不存在，请说明理由．
（4）在射线EF上取一点M，过M作DF的平行线交射线ED于点N（如图④），若直线MN上始终存在两个点P、Q，使得∠APC＝∠AQC＝90°，求EM的取值范围．
【分析】（1）旋转角度为45°时，EG是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理即可得出EG和AB 之间的数量关系．
（2）当DF经过三角板ABC的顶点B，求旋转角α的度数，即求∠ECD的度数，通过作辅助线可以得到P点与B点重合，从而得到答案．
（3）实际上是圆的切线的性质及判定的运用．
（4）题意告诉我们存在的点要在AC为直径的圆上，所以MN就应该是圆的弦从而得到EM应小于AC的一半．
【解答】（1）AB＝2EG．
（2）过点E作EP⊥DF，垂足是P，
∵∠B＝90°，∠A＝∠C＝45°，AC＝2∴EB＝1
∵∠FED＝90°，∠F＝30°，EF＝2，∴EP＝1
∴当DF经过三角板ABC的顶点B时，点P与点B重合，
此时∠PED＝30°，∠CED＝60°，即旋转角α为60°；
（3）以E为圆心，EC为半径画圆，与DF相切于点P，P点即为所求的点．
∵∠FED＝90°，∠F＝30°，EF＝2，∴EP＝1，∴P点在⊙E上，
∵AC是⊙E直径，∴∠APC＝90°；
（4）以E为圆心，EC为半径画圆．当EM＜2时，直线MN和⊙E交于P、Q两点，∠APC＝∠AQC＝90°．
类型3 确定最大角问题
例3．如图，已知足球球门宽AB约为55√2米，一球员从距B点 5√2米的C点（点A、B、C均在球场底线上），沿与AC成45°角的CD方向带球．试问，该球员能否在射线CD上找到一点P，使得点P为最佳射门点（即∠APB最大）？若能找到，求出这时点P与点C的距离；若找不到，请说明理由．
【解析】如图，作经过点A、B且和直线CD相切的圆，切点为P，此时∠APB最大．∵PC是切线，∴PC＝CBCA，（可以证明△CPB∽△CAP，得到CP/CA=CB/CP）,∵CB＝5√2，AC＝10√2，∴PC＝5√2×10√2＝100，∴PC＝10米，
牛刀小试：
1．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成50°的角，在直线l上取一点P，使得∠APB＝30°，则满足条件的点P的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【解析】若以AB为边作等边三角形，以等边三角形另一顶点为圆心，以等边三角形边长为半径作圆，圆心角∠AOB＝60°．圆与l交于两点，根据圆周角定理可知：这两点都符合题意的要求，由此得解．故选：B．
2．如图，矩形CDEF是由矩形ABCG（AB＜BC）绕点C顺时针旋转90°而得，∠APE的顶点在线段BD上移动，则能够使∠APE为直角的点P的个数是_______．
【解析】要判断直角顶点的个数，只要判定以AE为直径的圆与线段BD的位置关系即可，相交时有2个点，相切时有1个，外离时有0个，不会出现更多的点．本题主要是根据直径所对的圆周角是直角，把判定顶点的个数的问题，转化为直线与圆的位置关系的问题来解决．即有圆与直线BD相交，则直角顶点P的位置有两个．故答案是：2．
综上所述，我们可以把某些与定点成定角的问题转化为圆周角问题，转化为直线与圆的位置关系问题，则能轻易加以解决。
