Izhikevich Model
参考
Izhikevich博士于提出，使用二叉树对HH数学上的简化对神经元的简化，最简化的是只保留firing rate于HH与LIF之间进行计算复杂与动态性能的权衡[1] IZHIKEVICH QUADRATIC MODEL FOR SPIKING NEURONS
[2] 神经妙算
[3] 原始论文
[4] 快速了解
[5]Izhikevich神经元控制参数对可塑性神经元网络动力学的影响
对二次整合神经元的改进：
出发点：
HH神经元无疑是生物可解释性最强的，但参数太多，计算复杂，因此需要基于合理的假设作出比较好的妥协。二次整合神经元相较于整合发放神经元（IF）脉冲不是人为添加，而是靠二次函数短时间内快速上升。
Cv′=k(v−vrest)(v−vthresh)+I(t)ifv≥vpeak,thenv←cCv^{\prime} = k(v-v_{rest})(v-v_{thresh}) + I(t)\\ if\ v \geq v_{peak},\ \ \ then\ v\leftarrow c Cv′=k(v−vrest)(v−vthresh)+I(t)ifv≥vpeak,thenv←c
优点：
1、平滑的脉冲生成机制和脉冲的自动上冲
2、硬的峰后自动复位
使用分叉方法将HH模型简化为二阶常微分方程，Izhikevich在上述基础上加入恢复变量，使得神经元具有更加丰富的动态特性，而没有显著提高计算复杂度。
Cdvdt=k(v−vr)(v−vt)−u+Sdudt=a(b(v−vr)−u)ifv≥vpeak,thenv←c,u←u+dC\frac{dv}{dt} = k(v-v_r)(v-v_t)-u+S\\ \frac{du}{dt} = a(b(v-v_r)-u)\\ if\ \ v\geq v_{peak}, \ \ then \ \ v \leftarrow c,\ \ u \leftarrow u+d Cdtdv=k(v−vr)(v−vt)−u+Sdtdu=a(b(v−vr)−u)ifv≥vpeak,thenv←c,u←u+d
各参数意义：
u是膜电位恢复变量，主要用于统计火花钾离子和钝化钠离子的流动规律，并对膜电位起负反馈作用。
每个参数对神经元的动态性能都是有影响的（可以进行实验仿真）
在一定范围内，恢复变量的时间尺度参数的存在一个能够决定网络放电节律中γ\gammaγ节律是否存在的临界值；此外时间尺度参数的变化会影响γ\gammaγ节律出现的时间恢复变量对膜电位的依赖程度参数能够影响可塑性网络的放电行为，低依赖程度参数下的网络，可能会出现体现无标度性质的“单神经元放电”放电行为
简化模型：
p′=0.04v2+5v+140−u+Iu′=a(bv−u)ifv>30mV,thenv←c,u←u+dp^\prime = 0.04v^2+5v+140-u+I\\ u^\prime = a(bv-u)\\ if \ \ v>30mV, \ \ then \ \ \ v\leftarrow c,\ \ \ u\leftarrow u+dp′=0.04v2+5v+140−u+Iu′=a(bv−u)ifv>30mV,thenv←c,u←u+d
0.04v2+5v+1400.04v^2+5v+1400.04v2+5v+140的取值是为了将膜电势限制在mv水平，时间限制在ms水平，选用其他参数亦可
动态特性
能模拟丰富的脉冲形式，同时具有很高的计算性能。
在不同的参数下，Izhikevich神经元能够产生不同频率的电波，进而通过神经元的同步放电在可塑性网络中形成不同的放电节律，因此非常适合于大型网络的仿真。
Matlab代码
四个参数定天下
%Created by Eugene M. Izhikevich, February 25, % Excitatory neurons Inhibitory neurons Ne=800; Ni=200; re=rand(Ne,1);ri=rand(Ni,1); a=[0.02*ones(Ne,1); 0.02+0.08*ri]; b=[0.2*ones(Ne,1); 0.25-0.05*ri]; c=[-65+15*re.^2; -65*ones(Ni,1)]; d=[8-6*re.^2; 2*ones(Ni,1)]; S=[0.5*rand(Ne+Ni,Ne), -rand(Ne+Ni,Ni)]; v=-65*ones(Ne+Ni,1); % Initial values of v u=b.*v;% Initial values of u firings=[]; % spike timings for t=1:1000 % simulation of 1000 ms I=[5*randn(Ne,1);2*randn(Ni,1)]; % thalamic input fired=find(v>=30);% indices of spikes firings=[firings; t+0*fired,fired]; v(fired)=c(fired); u(fired)=u(fired)+d(fired); I=I+sum(S(:,fired),2); v=v+0.5*(0.04*v.^2+5*v+140-u+I); % step 0.5 ms v=v+0.5*(0.04*v.^2+5*v+140-u+I); % for numerical u=u+a.*(b.*v-u); % stability endplot(firings(:,1),firings(:,2),'.');
