Liu系统的混沌特性及其Matlab仿真.doc
Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真目 录摘要 .2英文摘要 .3导言 .4第一章 混沌的定义及其相关理论 .61.1 混沌学简史 .71.2 混沌的定义 .81.3 混沌的基本特征 .81.4 混沌的主要研究方法 .91.4.1 功率谱 .91.4.2 李雅普诺夫(Lyapunov)指数 .91.4.3 其它方法 .101.5 混沌意义及应用 .101.5.1 混沌的意义 .101.5.2 混沌的应用及前景 .10第二章 Liu 系统动力学行为的分析 112.1 基本动力学行为分析 .112.1.1 对称性和不变性 .122.1.2 耗散性和吸引子的存在性 .122.1.3 平衡点及稳定性 .132.2系统的参数影响 14第三章 Liu 系统的 Matlab 仿真 203.1 定义函数 .203.2 ODE函数命令作图 213.2.1 吸引子图及其程序 .213.2.2 时序图及其程序 .213.2.3 相图及其程序 .223.2.4 参数改变时的相图及其程序 .22第四章 Liu 系统的功率谱分析 234.1.经典功率谱估计 .234.1.1 Barlett 法 .244.1.2 Welch 法 .244.1.3 Nuttall法 254.2 Liu 系统混沌的功率谱仿真 .25结论 .27参考文献 .28附录 .29附录(1) Liu 系统的吸引子图，三维图程序 29附录(2) Liu 系统混沌时序图程序 29附录(3) Liu 系统混沌相图程序 30附录(4) 经典功率谱分析方法比较 .32附录(5) Liu 混沌系统功率谱 MATLAB仿真程序 35致谢 .36Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真摘要混沌现象几乎涉及到科学研究的每一个领域。物理力学的 Lroenz 模型、Rossler 模型、Duffing系统，电子工程学的蔡氏双涡旋电路模型(连续动力学系统范例) ，电力系统模型，生物学的 Logistic映射，天体物理学的 Henon 映射(离散动力学系统范例)等等，这些范例表现出丰富的混沌行为。Liu 混沌系统结构不同于以往的连续混沌系统，它是一类含有平方非线性项的三阶连续自治混沌系统。本文采用相图，功率谱，和 Lyapunove 理论等研究混沌的一些方法,并借助 MATLAB 软件对之1,2进行仿真研究,观察研究 Liu 混沌系统的基本动力学行为特性，良好的仿真结果验证了本文算法的有效性和快速性。关键词Liu 混沌系统；系统动力学；吸引子；MATLABLiu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真The chaos of Liu system characteristic and its simulation by MatlabAbstract Chaotic phenomena related to scientific research in almost every area. Lroenz physical mechanics of the model, Rossler model, Duffing system, electronic engineering Chuas double vortex circuit model for example dynamic system, electric power system model, the Logistic map biology, astrophysics the Henon map discrete dynamics Example system and so on, these examples show the rich chaotic behavior. Liu chaotic system structure is different from the previous consecutive chaotic system, it is a kind of square with the third-order nonlinear of the chaotic system for autonomy. In this paper, phase diagram, the power spectrum, and Lyapunove Chaos Theory, and so on a number of s and use of MATLAB simulation software for research, observation of Liu chaotic system dynamics of the basic characteristics of a good simulation results show the effective this algorithm And fast.Keywords Liu chaotic systerm ; systerm dynamics; attractor; Matlab Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真导 言自 20 世纪 60 年代，洛伦兹发现混沌现象以来，混沌理论研究一直受到普遍的关注。随着混沌研究的不断发展，人们开始把目光聚焦在控制混沌和利用混沌的研究上，控制和利用混沌的研究都是基于一些典型的混沌系统来进行的。1999年 Chen等采用线性反馈控制方法控制 Lorenz混沌系统而发现了一种与Lorenz混沌系统类似但不拓扑等价的 Chen混沌系统 ；2001 年和 2002年,吕金虎等人2相继发现 L混沌系统和连接上述三个混沌系统的统一混沌系统 ； 年,Liu 等发现2,7了在三维连续自治混沌系统中能产生四螺旋混沌吸引子的混沌系统,并用实际的硬件电路证实了该混沌系统的存在 。2刘崇新等人发现了新的 Liu混沌系统 。Liu 系统是一个三维连续混沌系统，1开展其动力学特性及应用研究具有重要的理论意义和实际价值。通常对混沌系统一个完整的研究要使用到李雅普诺夫指数分析和李雅普诺夫指数谱，庞卡莱映射图，混沌吸引子图，混沌相图，混沌时序图，混沌功率谱分析，混沌的电路实现等等。在对其动力学行为的分析中要考察研究其对称性，稳定性，不变性，平衡点和参数变化时的性质等等。对于混沌系统的研究，我们要使用多种方法不同的角度来分析研究，同时在理论分析中结合仿真和电路设计实现，其中就常常用到 MATLAB软件和 EWB电子设计软件进行辅助验证分析结果。混沌的产生，控制，同步等研究领域是目前最重要最前沿的研究体系。因为我们最重要的是实践也就是应用，目的是要应用转化为生产力。自从美国海军实验室的Pecora和Carrol 提出了一种混沌同步方法 ，以及随后在电2子电路中首次观察到混沌同步现象以来，人们先后提出一系列有效的混沌同步控制方法，例如，相互耦合同步,续变量反馈同步，自适应控制同步等，这些方法各有自己的使用范围，其中由于线性反馈控制同步简单且容易在物理上实现而得到广泛的应用, 此方法主要是基于李雅谱诺夫稳定性理论，构造李雅谱诺夫函数，进行数学推导，得出同步控制参数的取值范围, 但是对于某些混沌系统，要构造其李雅谱诺夫函数并不是一件很容易的事情, 因此，研究采用其他方法来确定线性反馈控制同步的控制参数取值范围将具有重要的理论意义和实用价值。近年来，随着人们对混沌现象的深入研究，对其动力学行为和基本特性的逐步了解，在图像处理、保密通信、电力电网动态分析和保护、机械振动分析与故障诊断、电子振荡发生器设计、信号检测与信息处理等领域中已得到了有效的应用，随着混沌理论的不断发展和完善，混沌将会在更多的领域中得到广泛的应用在这些应用中，我们需要有目的地控制混沌，也需要有目的地生成混沌或者加强已存在的混沌行为。Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真近年来混沌系统已经从整数阶发展到分数阶了，其性质和应用将更广阔，更丰富。分数阶微积分是研究分数阶次的微积分算子特性及其应用的数学理论，它几乎与整数阶微积分理论具有同样长的发展历史，但由于分数阶微积分理论长期没有实际应用背景而发展缓慢,次指出了自然界及许多科学技术领域中存在大量的分维数的事实，且在整数阶微积分与分数阶微积分理论描述的动力学系统之间存在着自相似现象，此后，作为分形几何和分维数的动力学基础，分数阶微积分才重新获得了新的发展而成为当前国际上的一个研究热点，并在电磁振荡、系统控制、材料力学等领域得到了有效的应用近年来，分数阶混沌系统的电路实现及其应用已引起人们广泛的兴趣和深入的研究，整数阶微积分是分数阶微积分理论的特例，整数阶混沌系统都是对实际混沌系统的理想化处理分数阶微积分是整数阶微积分理论的推广，利用分数阶微积分算子能更准确地描述实际混沌系统的动力学特性 特别是在最近，在Lorenz混沌系统、Chen 混沌系统、Chuas 混沌系统、Liu混沌系统以及Rossler超混沌系统中，通过计算机数值仿真，发现当系统的阶数为分数时仍然出现混沌状态，且更能反映系统呈现的工程物理现象,促进了人们利用分数阶微积分理论更深入地研究混沌这一自然界普遍存在的物理现象，也促进了分数阶微积分理论的发展。MATLAB是集数值运算、符号运算、数据可视化、数据图文字统一处理、系统动态仿真等功能于一体的数学软件具有很高的编程效率,在线性代数、矩阵分析、数值计算及优化、系统动力学、建模与仿真等领域中得到广泛应用 。MATLAB 具有高效的数值计算和3符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来，同时还拥有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化，它的这些特点使得很快成为应用学科计算机辅助分析、设计、仿真等领域不可缺少的基础软件。混沌理论研究的是非线性问题,难以用解析式表达,只能采用数值解法,而 MATLAB在这方面便可展示其强大的潜能 。本文通过采用相图,时序图和功率谱,只借助 MATLAB软3件对 Liu系统通向混沌的途径进行仿真研究,观察状态变量在时域和频域中的变化来了解系统的非线性特性,并通过调整其控制参数观察 Liu系统动力学行为的演变过程验证其特性。Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真第一章 混沌定义及其相关理论1.1混沌学简史 “混沌“一词译自英文“chaos“，“chaos“一词来自希腊文“ “，其原意是指先于一切事物而存在的广袤虚无的空间，后来罗马人把混沌解释为原始的混乱和不成形的物质，而宇宙的创造者就用这种物质创造出了秩序井然的宇宙 。4自从牛顿三大定律及万有引力定律问世以来，确定论的思想就在人们心中根深蒂固，这种观点是伟大的法国数学家和自然哲学家拉普拉斯强烈主张的 。在牛顿力学中，这4,6种信念是正确的，并且避免了任何可能的混合和含糊。但是，在真实世界里，初始状态的精确知识是得不到的，一个量不管测量得多么精确，我们总能要求测量得更精确些。尽管一般说来，我们没有能力知道这种精确知识，但通常我们假定，如果两个分别进行的实验的初始条件几乎相同，则最后结果亦将几乎相同。对于大多数具有光滑特性的“常规“系统，这种假设是正确的，但对于某些非线性系统，它是错误的，并且结果是确定性的混沌。 早在上世纪末，伟大的法国数学家庞加莱就已经深刻地了解了这种可能性以及定量的结果。在他的科学与方法一书中写道“初始条件中的微小差别会在最后现象中产生非常大差别的情况也可能发生，前者的微小误差将在后者中产生巨大的误差。预言变为不可能，而我们就有了偶然现象”。尽管庞加莱有惊人的洞察力，但直到本世纪年代初期，确定性混沌实际上仍然没有被仔细考察过。 交互式计算机的诞生终于为细致研究混沌提供了有力的工具。1963年，气象学家洛仑兹根据牛顿定律建立了温度压强、压强和风速之间的非线性方程，他将该方程组在计算机上进行模拟实验，因嫌那些参数小数点后面的位数太多，输入时很繁琐，便舍去了几位，尽管舍去部分看来微不足道，可是结果却大大出乎意料该气象模型竟与没有舍去几位小数所得的气象模型大相径庭，变得完全不同。因此，洛仑兹断言“长时期”天气预报是不可能的。在澳大利亚的一只蝴蝶偶然扇动翅膀所带来的微小气流，几星期后可能变成席卷北美佛罗里达洲的一场龙卷风。这就是天气系统的“蝴蝶效应” 。480年代后，混沌理论的研究一下子成为了热点，不仅是数学家、物理学家，而且生物学家、化学家、医学家、经济学家都不约而同地寻找不同形式的无规则性之间的联系。混沌之所以有如此大的吸引力，是因为它提供了把复杂的行为理解为有目的和有结构的某种行为的方法，而不是理解为外来的和偶然的行为。混沌是一种关于过程的科学，而Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真不是关于状态的科学；是关于演化的科学，而不是关于存在的科学，它使人们看到了运动演化中的生机和动力 。51.2 混沌的定义混沌是学术界对非线性系统研究领域非常活跃的前沿课题,混沌现象几乎涉及到科学研究的每一个领域。他是指确定性系统中出现的一种类似随机过程的行为。一个非线性动力学系统,在系统参数达到一定匹配时便会出现混沌现象 。 4混沌是 J.Hadamard 在 19 世纪末研究 Hamilton 系统时发现的。研究热潮始于 1963年 Lorenz 的三阶自治系统(Lorenz 模型) 。在 Lroenz 系统族中，常见的有以下三中典型模型 2Lorenz 系统 xayxycxzyzyba10, b8/3, c28Chens 系统 xayxyczcyzxbza35, b3, c28Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真L 系统 xayxyxzcyzyba36, b3, c20混沌现象属于确定性系统且对初值极其敏感，具有稠密轨道的拓扑特征，并呈现多种“混乱无序却又颇有规则”的图像 。因此混沌是一个关于过程的科学而不是一种关6,7于状态的科学，是关于演化的科学而不是关于存在的科学，决定论规律的非线性是混沌运动存在的必要条件 。7对于混沌的概念, 这个是很难确切地定义出来的,一般地,一个系统会受到小的扰动，非线性会放大这些扰动，系统一方面对于初始条件敏感依赖，另一方面又在有限范围内运动，就使那些初始状态和速度充分接近的轨道会以指数速度分离开来。由于轨道自己不能相交，所以这些轨道只能在有限的空间内缠绕往复而形成非常复杂的形状,这就是混沌。1.3 混沌的基本特征混沌的基本特征有如下几点1 具有类随机信号的特性。2 对初始值非常敏感。3 其相关函数类似于随机信号的相关函数，具有类似冲击函数的特性。4 混沌信号的频谱与随机信号的频谱类似，表现为连续频谱。5 混沌信号在相空间的吸引子表现为几何结构非常复杂具有分数维的奇怪吸引子。6混沌吸引自具有正的李雅普诺夫(Lyapunov)指数。混沌运动的最基本的特点是运动对初始条件极为敏感。两个很靠近的初始值所产生的轨迹，随时间的推移按指数方式分离。李雅普诺夫(Lyapunov)指数是定量描述这一现象的量，在李雅普诺夫(Lyapunov)指数谱中，最小的 Lyapunov指数，决定轨道收缩Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真的的快慢；最大的 Lyapnov指数则决定轨道发散即覆盖整个吸引子的快慢 。所有的指2,7数之和可以认为是大体上表征轨道总的平均发散快慢。而单个的则是定量的表征相空间两相邻轨线的分离问题，也就是“蝴蝶效应”的强弱的量。由以上的介绍，我们可以判断混沌，判断噪音。下面介绍几种关于混沌时间序列判别的基本方法(1)功率谱分析法 (2)主分量分析 (3)Poincare 庞卡莱截面法(4)Lyapumov 指数 (5)C-C 方法 (6)局部可变神经网络法(7)指数衰减法 (8)频闪法 (9)代替数据法1.4 混沌的主要研究方法。对于混沌现象的客观反映就需要更严谨的数学描述以及更直观的物理现象。1.4.1 功率谱在实验分析方面，对混沌系统施行功率谱分析已是研究混沌的最有效、最直观的工具。周期运动在功率谱中对应尖锋，混沌的特征是谱中出现“噪声背景“和宽锋。它是研究系统从分岔走向混沌的重要方法。 在很多实际问题中(尤其是对非线性电路的研究)常常只给出观测到的离散的时间序列 X1, X2, X3,.Xn,那么如何从这些时间序列中提取前述的四种吸引子(零维不动点、一维极限环、二维环面、奇怪吸引子)的不同状态的信息呢 我们可以运用数学上已经严格证明的结论，即拟合。我们将个采样值加上周期条件 XniXi， 则自关联函数(即离散卷积)为 然后对 Cj 完成离散傅氏变换，计算傅氏系数。 k 说明第 k个频率分量对 Xi 的贡献，这就是功率谱的定义 。当采用快速傅氏3,8变换算法后，可直接由 Xi作快速傅氏变换，得到系数然后计算，由许多组Xi得一批Pk，求平均后即趋近前面定义的功率谱 Pk。考虑到实际计算中，数据只能取有限个，谱也总以有限分辨度表示出来，从物理实验和数值计算的角度看，一个周期十分长的解和一个混沌解是难于区分的，这也正是功率谱研究的主要弊端 。 3,8910,1.4.2 李雅普诺夫(Lyapunov)指数 确定混沌区后，需要进一步对吸引子进行刻画。功率谱分析仍然有用，但更重要的是计算李亚普诺夫指数。 对初始条件的敏感依赖性是确定性系统混沌的关键特性。这意味着在相空间中相互靠近的两条轨线，随着时间的推移，它们将指数性的运动开。李雅普诺夫指数的数值计算方法一般有如下四种1.定义法 2.Wolf 方法(基准轨道法) 3.切空间法4.小数据量法 (M. T. Rosenstein，J. J. Collins b0,则 ,从而 0, 0,则 8式的所有系数均为正,因此,对任意 0,则都有 f0。因此,要使平衡点不稳定,则8式必须有两个正实部的复共轭特征根。若 b0,则8式有三个特征根 0, , -c.当 b从正趋近于零时,则 的高阶项变的很小,忽略12a3不计,则 趋近于-2b,因此,在极限状态的情况下 ,稳定性将失去。在 b从零逐渐增加的过1程中,仅当 时,系统不稳定性才会发生。此时，8式的两个特征根则为 Re0,其中 w为实数。1,2i从而可得 -ac,因此, -a-c,把它代入8式,有-acac2abc0,即1233ac/2,若 b ,则 和 均为不稳定的鞍焦点。hbhbShbS若 b 时,两个复共轭特征根为 。h 1,2aci由于 23baca( 9)Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真因此 220Re0,10Im0.1hhacbacb所以,根据霍普夫(Hopf)分岔的定理 ,则当 b 时,系统在平衡点 和 处将出1hbS现霍普夫Hopf分岔, 表示霍普夫(Hopf)分岔点。hb2.2系统的参数影响Liu 系统的动力学行为是由控制参数决定的。为观察系统的动力学特性,可采用相图、功率谱、有选择地研究控制参数，当参数变化时研究 Liu 系统的演化过程。从上面分析可知,随着系统参数的改变,系统平衡点的稳定性将会发生变化,从而该系统也将处于不同的状态。下面利用仿真,分析各个系统参数变化时 ,系统的变化情况。(1) 当 a、 c 不变,b 改变时，依据下面的 b 取不同值的相图可知当 b 时,系统为混沌状态如( b7 和 b20 的 xz 图)所示。0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50123456789xzb5列xz列 Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 502468101214xzb7列xz列 -15 -10 -5 0 5 10 150102030405060 xzb20列xz列 b 取不同值时的相图 分别依次取 b5,b7,b20很显然,系统在 b 时,发生了霍普夫(Hopf)分岔。同时由图(b7 的 x6.25hz图和 b20的 xz图)比较还可以看出,随着 b的增大,系统的混沌性增强。(2) 当 a,b不变,c 改变时，依据下面的 c取不同值的相图可知 当 0c8 时,系统为混沌状态；当 8c10.3时,系统为周期状态；当 10.3c10.7 时,系统为拟周期状态；当 10.7c30 时,系统为周期状态。Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25020406080100120 xzc6列xz列列 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20020406080100120c9列xz列列XZxz-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20304050607080 xzc10.5列xz列列 Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 250102030405060708090100 xzc20列xz列列 C 取不同的值时的相图(分别依次取 c6,c9,c10.5,c20)(3)当 b、c 不变,a 改变时, 依据下面的 c取不同值的相图可知当 0a4 时,系统为周期状态；当 4a14 时,系统为混沌状态；当 14a18 时,系统为周期状态；当 18a42.5 时,系统为混沌状态；当 42.5a50 时,系统为周期状态。-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1040455055606570 xza2列xz列列 Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20020406080100120 xza8列列xz列列 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 102530354045505560 xza17列xz列列 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200102030405060708090100 xza20列xz列列 Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真-15 -10 -5 0 5 10 15203040506070 xza45列xz列列 a 取不同的值时的相图分别依次取 a2,a8,a17,a20,a45综上所述，参数变化对系统影响的分析可以得到以下的结论1Liu 混沌系统在 b0,出现叉式分岔。2Liu 混沌系统在 bac/2,出现霍普夫分岔。3Liu 混沌系统当 a,c 不变,b 改变时,随着 b 的增大 ,系统从稳定状态变为混沌状态,且系统的混沌性增强。4Liu 混沌系统当 b,c 不变,a 改变时,随着 a 的增大,周期状态和混沌状态交替出现。5Liu 混沌系统当 a,b 不变,c 改变时,随着 c 的增大,系统则出现混沌、周期和拟周期三种状态。第三章 Liu 系统的 Matlab仿真分析Liu 系统的动力学行为是由控制参数 a、b、c 决定的。为观察系统的动力学特性 ,可采用相图、功率谱、关联维数等方法有选择地研究控制参数，当参数变化时研究 Liu 系统的演化过程。相空间就是由研究的物理量本身作为坐标分量所构成的广义空间,系统的任意状态相当于相空间中的一个点,系统状态随时间变化的过程对应于点在相空间中的变化,所有点的集合便构成了相图。非线性系统随时间的演变将趋向于维数比原来相空间低的极限集合Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真即吸引子。通常的简单吸引子有不动点、极限环和环面,随系统参数的改变简单吸引子可发展为奇怪吸引子。像这种当控制参数变化到某个临界值时使系统的动力学行为更易控制。Matlab 是一种既可交互使用又能解释执行的计算机语言。在研究非线性方程的解中使用方便直观，功能强大。通过 Matlab 仿真可以帮助我们很好的分析，研究和理解混沌系统的动力学行为特性 。9下面使用仿真分析 Liu 系统的动力学行为特性用 Matlab 实现 Liu 混沌系统的吸引子(状态图) ，结果见第一章系统混沌吸引子图。3.1定义函数为了方便表达将 x,y,z表示为 x1,x2,x3也即是列向量 x中的 3个分量，编译函数程序文件 lu19pride_.m,具体程序如下设 xx1,yx2,zx3;function xdotliu19pridet,x;a10;b40;k1;c2.5;h4;xdota*x2-x1;b*x1-k*x1*x3;-c*x3h*x12;其中，a,b,k,c,h 是 Liu混沌系统的参数，参数值可以在 Matlab装载m 程序文件夹中直接修改和设置，保存便能实现参数的改变，方便编程仿真分析，此段程序主要是对系统函数方程的描述，定义 Liu混沌系统的方程组，方程中 x,y,z是对时间 t的导数，因此是用 Matlab求解常微分方程的解图像曲线，便要使用到 ODE命令，在此采用 Rung-Kutta4,5 公式 的 ode45调用函数。33.2 ODE函数命令作图3.2.1 吸引子图及其程序在命令窗口编译下面程序实现 Liu混沌系统的吸引子图，用 plot3函数创建系统三维图型，其具体的图形见第一章系统吸引子图，它的具体编译程序见附录(1) 。3.2.2 时序图及其程序时序图是各方程在时间域的时间序列图，其具体的编译程序见附录(2)程序中使用 axis函数设置图形的坐标范围，便于得到体现系统特征的仿真图形，从Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真而更好地方便分析和研究系统的特性。而 subplot函数则是选择绘图位置，用于在图形窗口上绘制多个子图。如下面的 Liu混沌系统的时序图，这样既便于排版，更重要的是很方便比较分析。0 20 40 60 80 100-50050100Picture1TXt/sX0 20 40 60 80 100-20-1001020Picture2TXt/sx0 20 40 60 80 100-40-2002040Picture3TYt/sy0 20 40 60 80 100020406080100120Picture4TZt/sZLiu列列列列列列 Xt列列列列列列Yt列列列列列列Zt列列列列列列 Liu 混沌系统的时序图由系统的时域波形图(Picture1 Picture4)可得，系统混沌振荡的时域波形具有非周期性，解的流对初值极为敏感，这也是混沌的一大特性，为混沌的判别和研究提供了一个很好的方法和途径，在此也说明了时序图分析混沌性态的可行性。3.2.3 相图及其程序Liu 混沌系统在各平面上的相图，具体命令程序见附录(3)Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真Liu 系统混沌在各个平面的相图相图是系统的状态图在各个平面上的投影，通过相图可以很清晰的观察到系统的混沌吸引子的情形，还可以用来判断一个新的系统是否是混沌系统。Liu 混沌系统的相图具体情形如图 Picture5Picture10所示,其中每组小图用横向变换坐标放置在同一个图上，以便更清楚的比较观察、分析和研究系统的吸引子性质。3.2.4 参数改变时的相图及其程序第二章关于系统参数的影响中，改变参数值作的相图具体程序和上面中的程序(见附录(3) )是一样的，只是在设置图形属性不同，主要是在初值 x0 的取值和图形范围函数 axis 的使用时范围数值设置不一样，但是总体上的目的是要使图形便于观察和分析，表现其特征，性质。其相关分析具体见第二章，在此就不详细叙述。第四章 Liu 系统混沌的功率谱分析Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真周期运动在功率谱中对应尖锋，混沌的特征是谱中出现“噪声背景“和宽锋。它是研究系统从分岔走向混沌的重要方法。4.1.经典功率谱估计 经典功率谱估计分析主要包括 Tukey提出的相关函数估计，Schuster 提出的周期图估计，间接法(BT 法) 、Bartlett 法谱估计、Welch 法谱估计、Buttal 法谱估计，以及Burg提出的最大熵谱估计。常用的谱估计方法可分为非参数估计、参数估计和子空间估计三大类 。3,810非参数估计直接从时域信号估计 PSD，最基本的非参数估计是周期图法，该方法还可以使用于高音噪比情况下长时信号的谱估计。直接法是 Schuster于 1989年提出来的，又称为周期图法。直接法之所以得到广泛的应用，是由于它与序列的频谱有对应关系，可以采用 FFT算法来快速计算。但是在直接法功率谱估计中，对于无限长的平稳信号进行截断，这等于对无限长的序列加以矩形窗口，使之变成有限长的数据，这也意味着对自相关函数的加窗，使得功率谱与窗函数卷积。这种频域卷积会产生频谱泄漏，容易使得弱信号的主瓣被强信号的旁瓣所淹没，造成频谱的模糊和失真，使得周期图功率谱的分辨率较低 。10接法直接法又称周期图法，它是把随机序列 xn的 N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算 xn的离散傅立叶变换，得 Xk，然后再取其幅值的平方，并除以 N，作为序列 xn真实功率谱的估计。间接法间接法先由序列 xn估计出自相关函数 Rn，然后对 Rn进行傅立叶变换，便得到 xn的功率谱估计。改进的直接法对于直接法的功率谱估计，当数据长度 N太大时，谱曲线起伏加剧，若 N太小，谱的分辨率又不好，因此需要改进。因此必须对周期图法的功率谱估计方法进行改进，当然只是对数据方差的改进。当前主要有两种改进方法一种是周期图的平滑，即采用间接法估计功率谱；另一种是平均法，它将长度为 N 的数据 XN分成 L 段，分别求出每段的功率谱，然后加以平均 。10,下面将直接法的改进方法 Barlett 法、Welch 法和 Nuttall 法各自的方法特点和使用的函数见附录(5)常用功率谱分析方法表所示。它们之间的用法和区别详见附录(4)经典功率谱分析方法比较4.1.1 Barlett 法 10Bartlett平均周期图的方法是将 N点的有限长序列 xn分段求周期图再平均。Bartlett 平均周期图的方法是将 N点的有限长序列想 X( n) , 分成互不01NLiu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真重叠 L段数据，每段有 M个样本，则有 LMN,即11iXniMdni其中 为长度是 M 的矩形窗。01nLd然后求取每一段的 M 个样本的功率谱估计，即 210i MiknPER MnkXW 最后求出所有 M段数据功率谱的平均值，即 211 10 iL LMi knPERPER Ni inkkXW 并将上式作为整个序列 Xn的功率谱估计。随着 L的增大，平均周期图 的方差趋于 0，因此它是功率谱的渐近一致估计。PERk虽然分段平均周期法功率谱估计可以减少估计误差和波动，但是由于这种方法将长信号分段成短信号，从而使得功率谱的分辨率下降。在 MATLAB中可以利用函数 psd来实现Bartlett平均周期图方法的功率谱估计。4.1.2 Welch 法 10,Welch 法，又称为加权交叠平均法，它是对 Bartlett法的改进，主要体现在两个方面，一是在序列 X(n)分段时，容许每段数据有部分交叠；二是每段数据可以选择其他窗口函数，不一定要求是矩形窗口。Welch法对 Bartlett法进行了两方面的修正，一是选择适当的窗函数 wn，并再周期图计算前直接加进去，加窗的优点是无论什么样的窗函数均可使谱估计非负。二是在分段时，可使各段之间有重叠，这样会使方差减小。 在每段数据的功率谱时，Welch 算法 Bartlett算法相同。但是由于其使用了窗口函数，由窗口函数基本知识可知，采用合适的非矩形窗可以减小信号的“频谱泄漏” ，同时也可以增加谱峰宽度，从而提高频谱的分辨率，但是它在窗口的选择时候有一定的要求(1)窗口宽度远小于样本序列的长度，以排除不可靠的自相关值；(2)当平稳信号为实过程时，为保证平滑周期图和真实功率谱同样也是实偶函数，平滑窗口函数必须是实偶对称函数；Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真(3)平滑窗口函数应当在 M0处有峰值，并随 M的绝对值的增加而单调下降，使可靠的自相关值有较大的权值；(4)功率谱是频率的非负函数，由于周期是非负的，因而要求窗口函数的傅里叶变换是非负的。在 MATLAB中使用函数 psd与 pwelch都可以实现 Welch法的功率谱，其方法是一样的只是在参数设置有所不同。在 MATLAB中还可以利用函数 csd实现 Welch法的互功率谱，其中 csd函数的参数与 psd的用法是一样的。4.1.3 Nuttall法 10,由于 Welch法容许分段时交叠，这样就增加了数据分段的段数，当然也就增加了做FFT的次数。如果用的数据窗是非矩形窗，这有增加了求分段功率谱的乘法次数，因此Welch法的计算量很大。为了减少 Welch法计算量，Nuttall 等人提出了一种 5步结合算法 ，它主要是结10,合直接法与间接法，有结合了周期谱的平滑与平均。这样保持了平滑和平均减小方差的优点，而且计算量也小。4.2 Liu 系统混沌的功率谱仿真周期运动在功率谱中对应尖锋，混沌的特征是谱中出现“噪声背景“和宽锋。它是研究系统从分岔走向混沌的重要方法。在 MATLAB中建立 psd_Bartlett ._m 函数文件如下function xnpsd_Bartlettt,x;a10;b40;k1;c2.5;h4;xna*x2-x1;b*x1-k*x1*x3;-c*x3h*x12;其中功率谱的命令窗口程序见附录(5) Liu 混沌系统功率谱 MATLAB 仿真程序，先用ODE 函数语句得到系统的时间序列图，再用 PSD 函数语句得到系统的功率谱。 由系统的功率谱图形可以看出，系统的功率谱线中出现了类噪声现象，即是符合了混沌的功率谱特性在谱中出现了出现“噪声背景“和宽锋，所以可以看出系统是混沌系统，也更好的辅助说明了系统混沌特性的正确性，结合系统的状态图，吸引子图，时间序列图和相图说明系统是混沌现象。从而说明了使用功率谱研究混沌，判别系统是否是混沌系统提供了一个很好的方法，使的研究混沌的方法更加丰富，而且为实现对混沌的控制，分析提供了很好的依据，也为以后关于混沌的应用，混沌系统的能量，功率特性提供了Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真很好的研究手段。 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-40-20020406080100120Picture1TXt/sX列列列列列列列列 结 论Liu 系统的混沌特性及其 Matlab 仿真Liu 系统为混沌态,它的吸引子形状也是蝴蝶形,与 Lorenz 吸引子相似,但与其不拓扑等价,而且由系统(1)中第 3 个微分方程有一个二次项可以产生一个折叠轨道,从而吸引子出现涡旋状。由于 Liu 系统是一个新的混沌系统,在利用混沌电路进行保密通信方面有着广泛的应用前景,因此开展其动力学特性及应用研究具有重
