一、计算公式
对于形如以下的常微分方程:
采用四阶龙格库塔法的计算公式:
四阶 龙格库塔法精度为4,属于单步递推法。
单步递推法的基本思想是从(x(i),y(i))点出发,以某一斜率沿直线达到(x(i+1),y(i+1))点。
二、实例计算
从上述定义可以看出,龙格库塔实质上是求一阶微分方程,但是如果将一阶导看作变量,则二阶导也不过是这个变量的一阶导而已。
接下来就看实例吧:
对于下述二阶方程:
1、基本思想:
令位移为
q的一阶导,即位移的一阶导(速度)为
q的二阶导
求解位移u(1)的龙格库塔计算方法如下:
KK1=u(2);KK2=u(2)+h/2*KK1;KK3=u(2)+h/2*KK2;KK4=u(2)+h*KK3;u(1)=u(1)+h/6*(KK1+2*KK2+2*KK3+KK4);
求解速度u(2)的龙格库塔计算方法如下:
K1=-2*eptheton*u(2)-u(1)+Fm+Fah*wh*wh*sin(wh*tao+fav_h);K2=-2*eptheton*(u(2)+h/2*K1)-(u(1)+h/2)+Fm+Fah*wh*wh*sin(wh*tao+fav_h);K3=-2*eptheton*(u(2)+h/2*K2)-(u(1)+h/2)+Fm+Fah*wh*wh*sin(wh*tao+fav_h);K4=-2*eptheton*(u(2)+h*K3)-(u(1)+h)+Fm+Fah*wh*wh*sin(wh*tao+fav_h);u(2)=u(2)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
2、编程实现
参数设置:
h=0.001; % 步长t0=0:h:400; % 总时长w=5;ep=0.02;Fm=0.1;Fah=0.05;u(1)=0;u(2)=0; % 初值
总的程序实现
h=0.001;t0=0:h:400;w=5;ep=0.02;Fm=0.1;Fah=0.05;u(1)=0;u(2)=0;for i=1:length(t0) % 进行多次迭代tao=t0(i);u=RK(u,tao,h,ep,w,Fm,Fah);Result(i,:)=u; % 将每次迭代的位移和速度保存endfigure(1)subplot(2,1,1)plot(t0,Result(:,1))% 绘制位移图xlabel('Time')ylabel('displacement')subplot(2,1,2)plot(t0,Result(:,2))% 绘制速度图xlabel('Time')ylabel('velocity')function u=RK(u,tao,h,ep,w,Fm,Fah)KK1=u(2);KK2=u(2)+h/2*KK1;KK3=u(2)+h/2*KK2;KK4=u(2)+h*KK3;u(1)=u(1)+h/6*(KK1+2*KK2+2*KK3+KK4);K1=-2*ep*u(2)-u(1)+Fm+Fah*cos(w*tao);K2=-2*ep*(u(2)+h/2*K1)-u(1)-h/2+Fm+Fah*cos(w*tao);K3=-2*ep*(u(2)+h/2*K2)-u(1)-h/2+Fm+Fah*cos(w*tao);K4=-2*ep*(u(2)+h*K3)-u(1)-h+Fm+Fah*cos(w*tao);u(2)=u(2)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);end
结果图如下所示
值得特别注意的是
u=RK(u,tao,h,ep,w,Fm,Fah);
输入的u与输出的u一定要符号一致,从而确保下一次迭代的初始值是上一次的值。确保迭代能一直进行下去。
三、辅助验证
接下来用MATLAB自带的ode45函数来进行验证。
之前已经写过ode45函数的用法,在此不再进行介绍。
源程序如下:
t0=0:0.001:400;w=5;ep=0.02;Fm=0.1;Fah=0.05;y0=[0 0];[t,u]=ode45(@(t,u) odefun(t,u,w,ep,Fm,Fah),t0,y0);figure(1)subplot(2,1,1)plot(t,u(:,1))xlabel('Time')ylabel('displacement')subplot(2,1,2)plot(t,u(:,2))xlabel('Time')ylabel('velocity')function du=odefun(t,u,w,ep,Fm,Fah)du=[u(2);-2*ep*u(2)-u(1)+Fm+Fah*cos(w*t)]; end
运算结果图如下所示
两中方法计算的结果是一样的。
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