欢迎来到状态估计课程的第 3 单元。 在本模块中，我们将向您介绍 您可以使用两个传感器来提供帮助 本地化自动驾驶汽车。

为此，我们将首先回顾 一些 3D 运动学和 几个重要的参考系。

然后，讨论一些关于我们如何能够的细节 代表旋转，最后， 我们将介绍惯性测量单元 和全球导航卫星系统。

但首先，回顾一下 3D 几何体是很有用的。

要跟踪汽车如何移动， 我们需要知道如何表达 该运动使用数学工具和符号。

在本课中，我们将 查看参考系如何影响矢量坐标， 比较和对比不同的旋转表示， 并提供几个参考系 在我们关于传感器的下一课中很重要。

回想一下，一个向量是 具有大小和方向的几何对象。

通常，我们处理向量的概念 可与向量的概念互换 坐标或数字集 表示向量的方向和大小。

然而，这不一定是正确的。

如果我们假设向量在空间中是固定的， 那么它的坐标就会改变 取决于我们观察它的方式。

更确切地说， 相同的向量会有不同的坐标 取决于哪个坐标系或参考系 我们选择用它来表达。

我们将使用以下符号。 在帧 a 中，向量 r 具有符号 r_a。

同样，在 b 帧中， 它有坐标 r_b。

要将一组坐标转换为另一组坐标， 我们需要一个旋转矩阵来告诉我们 究竟如何一帧 相对于另一个旋转。

为此，我们将使用符号 带下标的粗体大写 C 指示惯性和最终参考系 从右到左。

通常，它也将有助于 我们来讨论如何坐标 点数随着我们的变化而变化 从一个参考系移动到另一个参考系。

例如，我们可能知道建筑物在 一些框架，现在我们想知道 它在我们当前的车架中的位置。

为了计算这个，我们使用向量加法， 确保表达所有 同一参考系中的坐标。

我们将在坐标上使用上标 表示 3D 矢量的起点和终点， 再从右到左， 和一个下标来指示其中的框架 这和以前一样表达。

我们可以操纵这个表达式 求解坐标 车架或 例如，适当的惯性系。

跟踪的重要组成部分 参考帧正在跟踪 它们的方向或旋转 相对于一些基本参考系。

轮换特别棘手 数学对象，它们可以是 主要错误的来源，如果 没有认真和勤奋地处理。

有许多不同的方式来表示旋转。

最常见的是使用三个 by 我们之前做过的三个旋转矩阵。

这个矩阵定义了之间的关系 的基向量 点积方面的两个参考系。

出于这个原因，它通常被称为 方向余弦矩阵。

要记住的一个重要性质是逆 旋转矩阵的转置只是它的转置。

表示旋转的第二种方法是 使用称为单位四元数的东西。

四元数是一个有趣的数学主题 在他们自己的权利，但对我们来说， 注意到一个单位四元数就足够了 表示为单位长度的四维向量， 参数化围绕由定义的轴的旋转 矢量 u 和关于该矢量的角度 phi。

我们可以通过使用将四元数转换为旋转矩阵 这有点乏味但是 简单的代数表达式。

为什么我们要使用四元数？ 嗯，他们不痛苦 奇点，他们只 需要四个参数而不是九个。

在课程的模块 5 中， 我们需要将两个四元数相乘。

重要的是，四元数乘法 不同于普通的乘法。

这是因为四元数是一种 事实上，复数或超复数， 因此适用不同的规则。

我们不会深入研究原因的细节 本课程就是这种情况， 但有兴趣的学习者可以在 任何处理四元数的好教科书。

四元数乘法运算符是 通常表示为一个带有 x 的圆圈， 乘法可以用 矩阵运算涉及 每个四元数的标量和矢量部分。

我们在这里展示了两个任意四元数 p 和 q。

就像矩阵乘法一样， 四元数乘法是结合的 但一般不是可交换的。

也就是说，乘法的顺序很重要。

顺序旋转可以表示为 利用四元数乘法。

考虑转换两个单位四元数的乘积， 再次 p 和 q 在这里， 到旋转矩阵。

这个旋转矩阵与的乘积相同 涉及矩阵的两次连续旋转 分别由 p 和 q 定义。

我们将利用这个重要的财产 在课程的最后一个模块中。

最后，另一种表示方式 旋转使用三个称为欧拉角的数字。

这些角度代表任意旋转 作为组成 绕不同主轴的三个独立旋转。

欧拉角部分有吸引力 因为它们是一种简约的表示， 只需要三个参数 而不是完整旋转矩阵的九个。

不幸的是，欧拉角表示 受制于所谓的奇点。

奇点复杂化 状态估计，因为它们代表 特定的旋转从中 两个欧拉角无法区分。

四元数和旋转矩阵都不会受到影响 从这个问题在 使用更多参数的代价。

那么这些表示中的哪些是 自动驾驶汽车工程师使用？

这要看情况。 每个都有优点和缺点。

一个旋转矩阵可以表示任何旋转， 但需要九个参数并有六个约束。

单位四元数也可以是 用于表示任何旋转， 但它也有一个限制。

要使用单位四元数来实际旋转向量， 我们还需要一些额外的代数 超越简单的矩阵乘法。

最后，欧拉角不受约束， 直观的可视化和使用 只有三个参数，但受到奇点的影响。

最后，让我们看看 四个重要的参考框架 我们将在定位我们的车辆时使用。

第一个坐标系是地心惯性坐标系 或 ECIF。

这个框架起源于地球的中心， z 轴指向正北， 并且 x 和 y 轴是固定的 关于非常遥远的星星。

这意味着虽然 地球绕z轴自转， x 和 y 轴不移动。

接下来，以地球为中心的地球固定 Frame 或 ECEF 就像 ECIF 除了它的 x 轴是 与本初子午线对齐并与地球一起旋转， y 轴由右手定则确定。

在这里，您可以看到显示差异的动画 在固定在地球上的 ECEF 之间， 和 ECIF 是 相对于距离恒星固定。

尽管 ECEF 和 ECIF 当我们讨论时很有用 卫星和飞机上的惯性传感， 对于实际的汽车应用， 我们通常想要使用一个框架 相对于地面固定。

在这种情况下，我们将使用我们所称的 导航框架或局部切线框架。

一个非常常见的导航框架是附加到 一些已知的起点和 对齐指向北的 x 轴， y 轴指向东， 和 z 轴向下。

这称为北、东、下的 NED 框架。

一个密切相关的框架是 将 x 轴指向东对齐的 ENU 框架， y 轴指向北方， z 轴朝上， 其中 ENU 代表 Easting Northing Up。

最后，我们还经常需要考虑 刚性的传感器框架 连接到像 LIDAR 这样的传感器上， GPS 接收器或惯性测量单元。

这个框架通常不同于 一般车架可以 放置在车辆上任何方便的地方， 例如，在质量中心。

对于本地化，我们将 经常忽略两者之间的区别 车辆和传感器框架 并假设如果我们可以跟踪传感器， 我们应该能够跟踪车辆上的任何一点， 给予适当的校准， 我们稍后将研究的主题。

总而言之，向量可以是 在不同的参考系中表示 通过旋转和平移。

旋转可以通过旋转矩阵参数化， 四元数或欧拉角， 每个都有优点和缺点。

地心地心、地心惯性、 和导航框架是 定位的重要参考框架。

在下一个视频中，我们将讨论我们如何 可以使用我们在中学到的工具 这节课要跟踪 使用惯性测量单元进行运动。

第 1 课补充阅读：3D 几何和参考系

有关 3D 几何和参考系的更多信息，请查看以下资源：

阅读Timothy D. Barfoot, State Estimation for Robotics ()（免费提供）的第 6 章，第 1 至 3 节。

利用这个在线交互式四元数计算器和一个方便的在线3D 旋转转换器。

阅读关于旋转矩阵的维基百科文章。

参考

/learn/state-estimation-localization-self-driving-cars/lecture/ccy3B/lesson-1-3d-geometry-and-reference-frames#