4.概率论

4.1条件概率

已知某个事件A发生的条件下，另一个事件B发生的概率称为条件概率，记为P(B|A)。看一下P(B|A)与P(A)、P(B)的关系：P(B|A) = P(AB) / P(A)。

条件概率也是概率的一种，所以也符合概率定义的三个条件：

非负性：P(B|A)≥ 0；规范性：对于必然事件S，有P(S|A) = 1；可列可加性：对于两两互不相容的事件B1，B2，B3.....，即Bi·Bj =Ø，i≠ j，i，j = 1，2，......，有P(B1 υ B2 υ ...... | A) = P(B1|A) + P(B2|A) + ......

乘法定理：由条件概率的定义，很容易得到P(AB) = P(B|A)P(A)，其中P(A) > 0；这条公式很容易推广到P(ABC) = P(C|AB)P(B|A)P(A) = P(A|BC)P(B|C)P(C).

4.2 全概率公式

设试验E的样本空间为S，A为E的一个事件，B1、B2......Bn是S的一个划分，且P(Bi) > 0 (i=1,2......n)，则

在某些时候，事件A的概率不好求，但是通过全概率公式却可以很容易求得。

4.3 贝叶斯公式

设试验E的样本空间为S。A为E的一个事件，B1、B2......Bn是S的一个划分，且P(A) > 0, P(Bi) > 0 (i=1,2,.....,n)，则

当对样本空间的划分由一对对立事件B与¯B组成时，全概率公式和贝叶斯公式可以简化为

贝叶斯公式的应用——诉讼、疾病诊断、垃圾邮件判别

下面来看一则案例：

4.4公式比较

乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式

乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率；贝叶斯公式是已知“最后结果”，求“某个事件”的概率。

先验概率与后验概率

P(Bj|A)是在事件A发生的条件下，某个事件Bj发生的概率，称为“后验概率”；Bayes公式又称为“后验概率公式”或 “逆概公式”；称P(Bj)为“先验概率”。

4.5独立性与事件

设A、B是两个事件，如果满足：P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A、B相互独立。简称A、B独立。

由事件独立的定义可以推出：

A、B独立，且P(A) > 0↔ P(B|A) = P(B)。

P(B|A) = P(AB)/P(A) = P(A)P(B) /P(A) = P(B)

若A、B独立，则A与¯B、¯A与¯B也相互独立。

P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|¯B)P(¯B) = P(A)P(B) + P(A¯B)

故P(A¯B)= P(A) - P(A)P(B) = P(A)(1-P(B))=P(A)P(¯B)

设A、B、C是三个事件，若满足

则称A、B、C相互独立。

4.6相互独立事件与互斥事件、对立事件

相互独立事件：两个事件没有一点关系。

互斥事件：要么只有其中一个事件发生，要么两个事件都不发生。

对立事件：两个之中，只有一个发生。跟互斥事件相比，对立事件必然会有一个事件发生。

互斥事件与对立事件都不是相互独立事件！