注：多元函数的偏导数在一点连续是指， 偏导数在该点的某个邻域内存在，于是偏导数在这个邻域内有定义，而且这个偏导函数在该点连续。理解这一点，才能理解后面的充分条件。
下面的这一步推导用到了这个条件：
为什么函数
在原点可导不可微?
先看一下函数图形，能看出什么特征:
确实比较怪诞,首先由于两个主曲率面和曲面截线弯曲方向不同，此曲面的高斯曲率一定是负的，类似于马鞍面，所以在原点处一定不可展。
而证明中极限
不存在的，我们也看一下它的图形：
极限不存在是显然的，因为沿着不同的y=kx接近原点，和z轴的交点是不同的。
基于以上两点，推导出了，此函数可导但是不可微，因为再原点不存在高阶无穷小。
为什么可导加上导函数连续，函数就变成可微的呢？首先我们看上面的函数确实是可导的，但是不可微一定是不满足导函数连续的条件.
计算一下:
看一下它们的图形：
可以看到此函数的特征，确实在原点不连续的，有跳跃。
对于一元函数来说，一元函数可导，在其可导区间内对应的导函数也连续，前提和结论互为充要条件，所以对于一个一元函数直观上可以看出来可不可导，以及导函数是不是连续。比如，出现尖峰就是一元函数不可导的直接证据，因为尖峰左右两边的导数不一样。导函数出现了间断点，不连续。
但是对于二元函数来说，不可导的特征似乎不那么明显，上面就是一个例子，因为在原点处并没有出现尖峰。结果导函数仍然不连续。看连尖峰这个条件变得不那么必要，但是尖峰条件是否仍然是充分的呢？我们再来看一个函数，它的图形是一个椭圆，我们查看一下椭圆的尖峰处的可导性。
可以看到，不像一元函数的情况，尖峰不是必要的，但是却是充分的，圆锥的顶部存在尖峰，求导后不连续，尖峰仍然可以说明，此函数在剑锋点不存在偏导数。
另一方面，在一点处可以求偏导，是二元函数可微的必要条件，这里在尖峰处不存在骗导，直接证明圆锥函数在尖峰处不可微.
