资产组合理论（Portfolio Theory)

解决如何恰当选择若干种证券，以及各种证券的数量，让投资者在一定收益水平下，承担的风险最小，或者在一定风险水平下收益最高。

马科维茨首次提出资产组合理论（Portfolio Theory），提出用均值与方差的概念来衡量证券和证券组合的收益和风险。主要解决了资产的选择问题。

理论假设

1、投资者全部都是风险规避者，要求获得与所承担风险相匹配的收益。

2、投资者只进行单期投资。

3、不考虑税收。

4、投资者理性。

5、投资者只用两个指标来决定有价证券的价格，分别是预期收益和风险。

期望收益

E(r)=∑i=1nPiriE(r)=\sum_{i=1}^nP_ir_i E(r)=i=1∑n​Pi​ri​

资产未来收益率是随机的，每一种不同收益率 rir_iri​ 都受不同的市场环境影响，不同市场环境出现的概率是 PiP_iPi​ 。

风险

σ2=∑i=1nPi[ri−E(r)]2\sigma^2=\sum_{i=1}^{n}P_i[r_i-E(r)]^2 σ2=i=1∑n​Pi​[ri​−E(r)]2

用收益率（价格）的方差（或标准差）表示风险。

组合1：风险资产和风险资产的组合

风险资产1：收益率 r1r_1r1​ ，期望收益 E(r1)E(r_1)E(r1​) ，标准差 σ1\sigma_1σ1​ ，投资比例是 www ；

风险资产2：收益率 r2r_2r2​ ，期望收益 E(r2)E(r_2)E(r2​) ，标准差 σ2\sigma_2σ2​ ，投资比例是 1−w1-w1−w ；

于是组合Q的收益、期望和标准差分别是：

rQ=wr1+(1−w)r2r_Q=wr_1+(1-w)r_2 rQ​=wr1​+(1−w)r2​

E(rQ)=wE(r1)+(1−w)E(r2)E(r_Q)=wE(r_1)+(1-w)E(r_2) E(rQ​)=wE(r1​)+(1−w)E(r2​)

σQ=w2σ12+(1−w)2σ22+2w(1−w)σ1σ2ρ\sigma_Q=\sqrt{w^2\sigma_1^2+(1-w)^2\sigma_2^2+2w(1-w)\sigma_1\sigma_2\rho} σQ​=w2σ12​+(1−w)2σ22​+2w(1−w)σ1​σ2​ρ​

不忘初心：选择若干证券，以及各种证券的数量。让投资者在一定收益水平下，承担的风险最小，或者在一定风险水平下收益最高。

即函数极值问题：

min⁡σQ2\min{\sigma_Q^2} minσQ2​

可求得最小方差投资比例：

w∗=σ22−σ1σ2ρσ12+σ22−2σ1σ2ρw^*=\frac{\sigma_2^2-\sigma_1\sigma_2\rho}{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\sigma_1\sigma_2\rho } w∗=σ12​+σ22​−2σ1​σ2​ρσ22​−σ1​σ2​ρ​

结论：多样化投资能有效降低非系统性风险

推广：多种风险资产组合

期望收益：

E(rQ)=∑i=1nwiE(ri)E(r_Q)=\sum_{i=1}^nw_iE(r_i) E(rQ​)=i=1∑n​wi​E(ri​)

∑i=1nwi=1\sum_{i=1}^nw_i=1 i=1∑n​wi​=1

组合标准差：

σQ=∑i=1n∑j=1nwiwjρijσiσj\sigma_Q=\sqrt{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nw_iw_j\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j} σQ​=i=1∑n​j=1∑n​wi​wj​ρij​σi​σj​​

重要概念

1、可行集：投资者面临的所有可能的投资组合的集合。

2、有效组合边界：可行集中全局最小方差以上的最小方差集

基金分离定理

1、在风险组合有效边界上，任意两个相分离的点都代表两个分离的有效风险投资组合。

2、在有效边界上，任意其他的点，所代表的投资组合，也都可以由这两个分离组合，再组合一次组合生成。

总结

组合期望收益与各原组合成员期望收益是线性关系。

组合风险与各原组合成员风险非线性关系（ρ≠±1\rho\neq\pm1ρ=±1）。

只要能掌握每一组股票的风险和期望收益，以及两项资产间的相关系数，就能在股市上不断的构造新组合，达到在给定风险水平上收益更高，在给定收益水平上风险更低。

不能无止境的通过组合来实现更低风险和更高收益的组合，存在一个边界。

两个资产越负相关越好，风险可以相互抵消。

托宾的理论

引入无风险借贷，马科维茨的有效集蜕变成一条射线。

一条经过无风险资产并且与马科维茨有效集相切于一点的射线，叫资本市场线。

组合2：风险资产和无风险资产的组合

风险资产是 RRR ，收益率 rRr_RrR​， 期望收益 E(rR)E(r_R)E(rR​) ，标准差 σR\sigma_RσR​ ，投资比例 www

无风险资产 FFF， 收益率 rFr_FrF​ ，期望收益 E(rF)E(r_F)E(rF​) ，标准差 σF\sigma_FσF​ ，投资比例 1−w1-w1−w

组合 QQQ 的收益、期望、标准差分别是：

rQ=wr1+(1−w)r2r_Q=wr_1+(1-w)r_2 rQ​=wr1​+(1−w)r2​

E(rQ)=wE(r1)+(1−w)E(r2)E(r_Q)=wE(r_1)+(1-w)E(r_2) E(rQ​)=wE(r1​)+(1−w)E(r2​)

σQ=wσR\sigma_Q=w\sigma_R σQ​=wσR​

资本市场线（Capital Market Line）

E(rQ)=rF+E(rR)−rFσFσQE(r_Q)=r_F+\frac{E(r_R)-r_F}{\sigma_F}\sigma_Q E(rQ​)=rF​+σF​E(rR​)−rF​​σQ​

夏普比率

资本市场线的斜率，表示单位风险补偿，投资者愿意承担每一单位风险所要求的额外收益。

分离定理

1、考虑到无风险投资时，投资者在选择最优锋线组合的时候，与风险偏好无关，只要找到切点就行。

2、根据自己的风险偏好，在资本市场线上选择一部分风险资产和最优风险资产的组合。

3、1与2是分离的。先用数学方法确定最优风险组合，再确定一个由无风险资产和风险资产组合所组成的组合。

超过切点的组合：用无风险利率借钱投资。