统计案例 | 二战时期德军坦克数量的估计？

一、一则故事

今天小编和各位同学来聊一则故事，在二战时期，西方盟国一直在努力确定德国的生产速度（典型的就是坦克产量），并以两种主要方式得到这个数据：常规情报收集和统计估计。

方式一是根据情报人员刺探的消息，这个好理解，各种影视剧中的间谍大家已经司空见惯。根据这种方式得到德军坦克每个月的产量大约有1400辆。（还挺多？）

方式二是根据盟军发现和截获的德国坦克数据，用统计分析办法得到。通过根据概率统计推断的方法，预计的数量只有数百辆（纳尼，差距这么大？）

那么问题来了？！方式一和方式二究竟哪个才是正确的？是情报人员技高一筹？还是科学的统计分析方法笑到了最后？以及方式二提到的统计分析方法又是指什么方法呢？欢迎走进“大型连续剧”—统计案例系列，听学长和你唠唠一些有意思的案例，以及案例背后所散发的统计思维（咳咳）。

二、点估计

“矩估计”想必各位小伙伴不陌生了，学过参数估计的小伙伴应该就了解，点估计是参数估计重要的一大类方法，而点估计方法又包括大家熟知的矩估计，以及接下来还要去提及的极大似然估计。

矩估计的定义是什么呢？首先来看“矩”的定义。在贾老师课本上，有这样一段话“在一般的概率论教材中，把数学期望及方差等概念用所谓“矩”的概念来描述”。具体的示例见下图，根据统计量的定义可以得知，XX矩本质就是统计量。

那矩估计呢？说白了就是用上述XX矩来估计总体参数的方法。百度百科的定义为：利用样本矩来估计总体中相应的参数。首先推导涉及相关参数的总体矩（即所考虑的随机变量的幂的期望值）的方程。然后取出一个样本并从这个样本估计总体矩。接着使用样本矩取代（未知的）总体矩，解出感兴趣的参数。从而得到那些参数的估计。

是不是还有一些抽象？那举个栗子好了！

现在要估计总体均值，运用矩估计的方法来进行，那么“三部曲”走起：

上面我们大概了解了矩估计的含义，那这和一开始提到的预估坦克数量的故事有什么关系呢？

三、矩估计背后的故事

文章一开始提及的预估坦克数量的两种方式，到底哪个更准，当时的人们谁也说不清楚。等到二战结束之后，盟军对德国的坦克生产记录进行了检查，发现第二种方式，即统计方法预测的答案与事实更加符合！具体见下图：

看来统计学还真有两把刷子欧！那接下来的问题就是，这些聪明的统计学家究竟是如何预估出来的呢？相信聪明的你已经猜到了，用到的方法就是刚才介绍过的矩估计！

在当时，德国制造的每一辆坦克上都有一个序列号。假设德国每个月生产一批共N辆坦克，即从1到N顺序编号。所以，这个N也就是最大编号。盟军发现和截获的任何德国坦克上的序列号，都应该是介于1和N之间的一个整数。根据截获坦克序列号的数据来猜测总的生产数N，便是需要解决的问题。即估计总体参数N。

具体采用的方法是用不放回抽样来估计离散型均匀分布最大值。具体求解过程为：

注意：上述累加式子中为每两个数之间的数量，是不包括两个端点的值的。

来个实际例子：盟军发现了5辆坦克，其序列号分别为：

215、90、256、248、60。那么根据上述的方法，估计总的坦克数量为：

肿么样，是不是很有趣？类似的案例还有：

1、在二战期间，类似的序列号分析也在其他军事装备上应用过，其中最成功的属V-2火箭

2、二战期间，德国情报部门分析了苏联军事装备工厂，朝鲜战争期间苏联装备工厂也被分析过。苏联在二战期间也估计过德国坦克的生产数

3、20世纪80年代，一些美国人被获准进入以色列的梅卡瓦坦克的生产线。生产编号是分类过的，但水箱上有序列号，可以用来估计生产量。

4、该公式在非军事中也有使用，如估计Commodore 64计算机的总数，其结果（1.25亿）与官方数字相当匹配