ψλ：本征值为λ的本征函数，也有多个，甚至无穷多个，有时一个本征值对应多个不同的本征函数，这称为简并。若一个本征值对应的不同本征函数数目为N，则称N重简并。
1.4 定态情况下的薛定谔方程一般解
1、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是能量本征方程，E就称为体系的能量本征值，而相应的解称为能量的本征函数。
2、当不显含时时，体系的能量是收恒量，可用分离变量。
3、解定态薛定谔方程，关键是写出哈密顿量算符。
2. 利用矩阵法求解薛定谔方程
以在一维空间运动的粒子构成的谐振子的体系为例。
该粒子的势能是，是谐振子的角频率，因此谐振子的哈密顿量为
。
当时，谐振子的势能变为无穷大，因此，粒子只能在有限的空间上运动，并且能量值谱是分立的。下面采用矩阵的方法，确定谐振子的能量分立值。
从运动方程出发(1)
而势能那么
又代入上式(1)得
即(2)
在矩阵形式下，该方程可以写为
含时坐标矩阵元(3)
对它求导，我们得到
代入上式后，有
(4)
其中(5)
所以，除了当或外，所有的坐标矩阵元都等于零
当时，由(5)式有
即同理，
因此，只有变化时，才能得到频率即所以不为零的坐标矩阵元为
根据定义[12-14]
对于存在的波函数，应为实数，所有的矩阵元也为实数，由厄密算符的性质得
为了计算坐标的矩阵元，由对易关系
又代入上式易得
写为矩阵形式，有
根据矩阵的乘法规则，有
又，则有由前面的分析知，只有时，才存在矩阵元，代入上式，
从该方程我们可以得出
矩阵元不为零，但是当时，矩阵元则
即
又
依次类推，得出
最后，我们得到坐标矩阵元不为零的表达式
又谐振子的能量可以用来表示，且，计算该能量得
