概率论与数理统计【二】随机事件与概率(2) - 常用求概率公式与例题两道

本节为概率论与数理统计复习笔记的第二节，随机事件与概率(2)，主要包括：加法公式、减法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式以及两道例题。

1.常用的求概率公式

1.加法公式

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\\\ \\ P(A\cup B \cup C)=\\P(A)+P(B)+P(C)\\-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)

2.减法公式

P(A−B)=P(A)−P(AB)=P(ABˉ)P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A\bar B)P(A−B)=P(A)−P(AB)=P(ABˉ)

3.条件概率公式

已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率：

P(B∣A)=P(AB)P(A)P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} P(B∣A)=P(A)P(AB)​

引申一下还有：

P(Bˉ∣A)=1−P(B∣A)P(B−C∣A)=P(B∣A)−P(BC∣A)P(\bar B|A)=1-P(B|A)\\\ \\ P(B-C|A)=P(B|A)-P(BC|A) P(Bˉ∣A)=1−P(B∣A)P(B−C∣A)=P(B∣A)−P(BC∣A)

4.乘法公式

P(AB)=P(A)P(B∣A)=P(B)P(A∣B)P(ABC)=P(A)P(B∣A)P(C∣AB)P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)\\\ \\ P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) P(AB)=P(A)P(B∣A)=P(B)P(A∣B)P(ABC)=P(A)P(B∣A)P(C∣AB)

5.全概率公式（全集分解公式）

若∪i=1nAi=Ω，AiAj=∅（i≠j;i,j=1,...,n）\cup_{i=1}^n A_i=\Omega，A_iA_j=\empty（i\neq j;i,j=1,...,n）∪i=1n​Ai​=Ω，Ai​Aj​=∅（i​=j;i,j=1,...,n），则对任一事件B有B=∪i=1nAiB，P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)B=\cup_{i=1}^n A_iB，P(B)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)B=∪i=1n​Ai​B，P(B)=∑i=1n​P(Ai​)P(B∣Ai​)。

6.贝叶斯公式（逆概公式）

如果∪i=1nAi=Ω，AiAj=∅（i≠j;i,j=1,...,n），P(Ai)>0\cup_{i=1}^n A_i=\Omega，A_iA_j=\empty（i\neq j;i,j=1,...,n），P(A_i)>0∪i=1n​Ai​=Ω，Ai​Aj​=∅（i​=j;i,j=1,...,n），P(Ai​)>0，则对任一事件BBB，只要P(B)>0P(B)>0P(B)>0，即有P(Aj∣B)=P(Aj)P(B∣Aj)Σi=1nP(Ai)P(B∣Ai)P(A_j|B)=\frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\Sigma_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)}P(Aj​∣B)=Σi=1n​P(Ai​)P(B∣Ai​)P(Aj​)P(B∣Aj​)​。

2. 两道例题

eg1.设有两批数量相同的零件，已知有一批产品全部合格，另一批产品有25%不合格。从两批产品中任取已知，经检验是正品，放回原处，并在原处所在批次再取一只，试求这只产品是次品的概率。

解：设事件Hi(i=1,2)H_i(i=1,2)Hi​(i=1,2)为“第一次从第i批产品中抽取”，事件AAA为取正品，则P(H1)=P(H2)=12，P(A∣H1)=1P(H_1)=P(H_2)=\frac12，P(A|H_1)=1P(H1​)=P(H2​)=21​，P(A∣H1​)=1，P(A∣H2)=34P(A|H_2)=\frac34P(A∣H2​)=43​。

则有P(A)=P(H1)P(A∣H1)+P(H2)P(A∣H2)=78P(A)=P(H_1)P(A|H_1)+P(H_2)P(A|H_2)=\frac78P(A)=P(H1​)P(A∣H1​)+P(H2​)P(A∣H2​)=87​（全概率公式）；

从而（贝叶斯）：

P(H1∣A)=P(H1)P(A∣H1)P(A)=47P(H2∣A)=P(H2)P(A∣H2)P(A)=37P(H_1|A)=\frac{P(H_1)P(A|H_1)}{P(A)}=\frac47\\\ \\ P(H_2|A)=\frac{P(H_2)P(A|H_2)}{P(A)}=\frac37 P(H1​∣A)=P(A)P(H1​)P(A∣H1​)​=74​P(H2​∣A)=P(A)P(H2​)P(A∣H2​)​=73​(当第一次取正品之后，概率就发生了变化，不是1/2了)

设Ci(i=1,2)C_i(i=1,2)Ci​(i=1,2)表示“第二次从第i批产品中抽取”，则有：

P(Aˉ)=P(C1)P(Aˉ∣C1)+P(C2)P(Aˉ∣C2)=47×0+37×14=328P(\bar A)=P(C_1)P(\bar A|C_1)+P(C_2)P(\bar A|C_2)\\\ \\=\frac47 \times 0+\frac37 \times \frac14=\frac3{28} P(Aˉ)=P(C1​)P(Aˉ∣C1​)+P(C2​)P(Aˉ∣C2​)=74​×0+73​×41​=283​

eg2.设有两箱零件，第一箱内装50件，其中10件是一等品；第二箱内装30件，其中18件是一等品。

求：

（1）先去除的零件是一等品的概率ppp；

（2）在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的概率qqq。

解：记AAA={从第一箱中取}，B1B_1B1​={先取出的是一等品}，B2B_2B2​={后取出的是一等品}，则有：

P(A)=P(Aˉ)=12，P(B1∣A)=15，P(B1∣Aˉ)=35P(A)=P(\bar A)=\frac12，P(B_1|A)=\frac15，P(B_1|\bar A)=\frac35P(A)=P(Aˉ)=21​，P(B1​∣A)=51​，P(B1​∣Aˉ)=53​

P(B1B2∣A)=1050×949，P(B1B2∣Aˉ)=1830×1729P(B_1B_2|A)=\frac{10}{50}\times \frac9{49}，P(B_1B_2|\bar A)=\frac{18}{30}\times \frac{17}{29}P(B1​B2​∣A)=5010​×499​，P(B1​B2​∣Aˉ)=3018​×2917​

（1）p=P(A)P(B1∣A)+P(Aˉ)P(B1∣Aˉ)=25p=P(A)P(B_1|A)+P(\bar A)P(B_1|\bar A)=\frac25p=P(A)P(B1​∣A)+P(Aˉ)P(B1​∣Aˉ)=52​

（2）P(B1B2)=P(A)P(B1B2∣A)+P(Aˉ)P(B1B2∣Aˉ)=2761421P(B_1B_2)=P(A)P(B_1B_2|A)+P(\bar A)P(B_1B_2|\bar A)=\frac{276}{1421}P(B1​B2​)=P(A)P(B1​B2​∣A)+P(Aˉ)P(B1​B2​∣Aˉ)=1421276​，

则q=P(B2∣B1)=P(B1B2)P(B1)=6901421q=P(B_2|B_1)=\frac{P(B_1B_2)}{P(B_1)}=\frac{690}{1421}q=P(B2​∣B1​)=P(B1​)P(B1​B2​)​=1421690​。

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