（七）学习笔记：动手学深度学习（线性回归与基础优化算法）

线性回归与基础优化算法

1.线性回归理论部分1.1 线性回归的基本元素1.1.1 线性模型1.1.2 损失函数1.1.3 解析解1.1.4 随机梯度下降1.1.5 用模型进行预测 1.2 矢量化加速1.3 正态分布与平方损失1.4 从线性回归到深度网络1.4.1 神经网络图1.4.2 生物学 1.5 小结1.6 思考题及其解答 2. 基础优化方法2.1 梯度下降2.2 选择学习率2.3 小批量随机梯度下降 2.4 总结3. 线性回归从零开始实现3.1 生成数据集3.2 读取数据集3.3 初始化模型参数3.4 定义模型3.4.1 定义损失函数3.4.2 定义优化算法（小批量随机梯度下降） 3.5 训练3.6 小结3.7 思考题及解答 4.线性回归的简洁实现4.1 生成数据集4.2 读取数据集4.3 定义模型4.3.1 初始化模型参数4.3.2 定义损失函数4.3.3 定义优化算法 4.4 训练4.5 小结4.6 思考题及其解答

1.线性回归理论部分

回归（regression）是能为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。

在自然科学和社会科学领域，回归经常用来表示输入和输出之间的关系。

在机器学习领域中的大多数任务通常都与预测（prediction）有关。

当我们想预测一个数值时，就会涉及到回归问题。

常见的例子包括：预测价格（房屋、股票等）、预测住院时间（针对住院病人等）、

预测需求（零售销量等）。

但不是所有的预测都是回归问题。

在后面的章节中，我们将介绍分类问题。分类问题的目标是预测数据属于一组类别中的哪一个。

1.1 线性回归的基本元素

线性回归（linear regression）可以追溯到19世纪初，它在回归的各种标准工具中最简单而且最流行。

线性回归基于几个简单的假设：

首先，假设自变量 x \mathbf{x} x和因变量 y y y之间的关系是线性的，即 y y y可以表示为 x \mathbf{x} x中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声；

其次，我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。

为了解释线性回归，我们举一个实际的例子：

我们希望根据房屋的面积（平方英尺）和房龄（年）来估算房屋价格（美元）。

为了开发一个能预测房价的模型，我们需要收集一个真实的数据集。

这个数据集包括了房屋的销售价格、面积和房龄。

在机器学习的术语中，该数据集称为训练数据集（training data set）

或训练集（training set）。

每行数据（比如一次房屋交易相对应的数据）称为样本（sample），

也可以称为数据点（data point）或数据样本（data instance）。

我们把试图预测的目标（比如预测房屋价格）称为标签（label）或目标（target）。

预测所依据的自变量（面积和房龄）称为特征（feature）或协变量（covariate）。

通常，我们使用 n n n来表示数据集中的样本数。

对索引为 i i i的样本，其输入表示为 x ( i ) = [ x 1 ( i ) , x 2 ( i ) ] ⊤ \mathbf{x}^{(i)} = [x_1^{(i)}, x_2^{(i)}]^\top x(i)=[x1(i)​,x2(i)​]⊤，其对应的标签是 y ( i ) y^{(i)} y(i)。

1.1.1 线性模型

线性假设是指目标（房屋价格）可以表示为特征（面积和房龄）的加权和，如下面的式子：

p r i c e = w a r e a ⋅ a r e a + w a g e ⋅ a g e + b . \mathrm{price} = w_{\mathrm{area}} \cdot \mathrm{area} + w_{\mathrm{age}} \cdot \mathrm{age} + b. price=warea​⋅area+wage​⋅age+b.

w a r e a w_{\mathrm{area}} warea​和 w a g e w_{\mathrm{age}} wage​称为权重（weight），权重决定了每个特征对我们预测值的影响。

b b b称为偏置（bias）、偏移量（offset）或截距（intercept）。

偏置是指当所有特征都取值为0时，预测值应该为多少。

即使现实中不会有任何房子的面积是0或房龄正好是0年，我们仍然需要偏置项。

如果没有偏置项，我们模型的表达能力将受到限制。

严格来说，是输入特征的一个仿射变换（affine transformation）。

仿射变换的特点是通过加权和对特征进行线性变换（linear transformation），并通过偏置项来进行平移（translation）。

给定一个数据集，我们的目标是寻找模型的权重 w \mathbf{w} w和偏置 b b b，使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。

输出的预测值由输入特征通过线性模型的仿射变换决定，仿射变换由所选权重和偏置确定。

而在机器学习领域，我们通常使用的是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比较方便。

当我们的输入包含 d d d个特征时，我们将预测结果 y ^ \hat{y} y^​（通常使用“尖角”符号表示 y y y的估计值）表示为：

y ^ = w 1 x 1 + . . . + w d x d + b . \hat{y} = w_1 x_1 + ... + w_d x_d + b. y^​=w1​x1​+...+wd​xd​+b.

将所有特征放到向量 x ∈ R d \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d x∈Rd中，并将所有权重放到向量 w ∈ R d \mathbf{w} \in \mathbb{R}^d w∈Rd中，我们可以用点积形式来简洁地表达模型：

y ^ = w ⊤ x + b . \hat{y} = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b. y^​=w⊤x+b.

向量 x \mathbf{x} x对应于单个数据样本的特征。

用符号表示的矩阵 X ∈ R n × d \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times d} X∈Rn×d

可以很方便地引用我们整个数据集的 n n n个样本。

其中， X \mathbf{X} X的每一行是一个样本，每一列是一种特征。

对于特征集合 X \mathbf{X} X，预测值 y ^ ∈ R n \hat{\mathbf{y}} \in \mathbb{R}^n y^​∈Rn

可以通过矩阵-向量乘法表示为：

y ^ = X w + b {\hat{\mathbf{y}}} = \mathbf{X} \mathbf{w} + b y^​=Xw+b

这个过程中的求和将使用广播机制。

给定训练数据特征 X \mathbf{X} X和对应的已知标签 y \mathbf{y} y，线性回归的目标是找到一组权重向量 w \mathbf{w} w和偏置 b b b

当给定从 X \mathbf{X} X的同分布中取样的新样本特征时，这组权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。

虽然我们相信给定 x \mathbf{x} x预测 y y y的最佳模型会是线性的，但我们很难找到一个有 n n n个样本的真实数据集，其中对于所有的 1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n 1≤i≤n， y ( i ) y^{(i)} y(i)完全等于 w ⊤ x ( i ) + b \mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)}+b w⊤x(i)+b。

无论我们使用什么手段来观察特征 X \mathbf{X} X和标签 y \mathbf{y} y，

都可能会出现少量的观测误差。

因此，即使确信特征与标签的潜在关系是线性的，我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。

在开始寻找最好的模型参数（model parameters） w \mathbf{w} w和 b b b之前，

我们还需要两个东西：

（1）一种模型质量的度量方式；

（2）一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。

1.1.2 损失函数

在我们开始考虑如何用模型拟合（fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。

损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。

通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。

回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。

当样本 i i i的预测值为 y ^ ( i ) \hat{y}^{(i)} y^​(i)，其相应的真实标签为 y ( i ) y^{(i)} y(i)时，

平方误差可以定义为以下公式：

l ( i ) ( w , b ) = 1 2 ( y ^ ( i ) − y ( i ) ) 2 . l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{2} \left(\hat{y}^{(i)} - y^{(i)}\right)^2. l(i)(w,b)=21​(y^​(i)−y(i))2.

常数 1 2 \frac{1}{2} 21​不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些

（因为当我们对损失函数求导后常数系数为1）。

由于训练数据集并不受我们控制，所以经验误差只是关于模型参数的函数。

为了进一步说明，来看下面的例子。

我们为一维情况下的回归问题绘制图像，如图所示。

由于平方误差函数中的二次方项，估计值 y ^ ( i ) \hat{y}^{(i)} y^​(i)和观测值 y ( i ) y^{(i)} y(i)之间较大的差异将导致更大的损失。

为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集 n n n个样本上的损失均值（也等价于求和）。

L ( w , b ) = 1 n ∑ i = 1 n l ( i ) ( w , b ) = 1 n ∑ i = 1 n 1 2 ( w ⊤ x ( i ) + b − y ( i ) ) 2 . L(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n l^{(i)}(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2. L(w,b)=n1​i=1∑n​l(i)(w,b)=n1​i=1∑n​21​(w⊤x(i)+b−y(i))2.

在训练模型时，我们希望寻找一组参数（ w ∗ , b ∗ \mathbf{w}^*, b^* w∗,b∗），这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式：

w ∗ , b ∗ = * ⁡ a r g m i n w , b L ( w , b ) . \mathbf{w}^*, b^* = \operatorname*{argmin}_{\mathbf{w}, b}\ L(\mathbf{w}, b). w∗,b∗=*argminw,b​L(w,b).

1.1.3 解析解

线性回归刚好是一个很简单的优化问题。

与我们将在本书中所讲到的其他大部分模型不同，线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来，这类解叫作解析解（analytical solution）。

首先，我们将偏置 b b b合并到参数 w \mathbf{w} w中，合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。

我们的预测问题是最小化 ∥ y − X w ∥ 2 \|\mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{w}\|^2 ∥y−Xw∥2。

这在损失平面上只有一个临界点，这个临界点对应于整个区域的损失极小点。

将损失关于 w \mathbf{w} w的导数设为0，得到解析解：

w ∗ = ( X ⊤ X ) − 1 X ⊤ y . \mathbf{w}^* = (\mathbf X^\top \mathbf X)^{-1}\mathbf X^\top \mathbf{y}. w∗=(X⊤X)−1X⊤y.

像线性回归这样的简单问题存在解析解，但并不是所有的问题都存在解析解。

解析解可以进行很好的数学分析，但解析解对问题的限制很严格，导致它无法广泛应用在深度学习里。

1.1.4 随机梯度下降

即使在我们无法得到解析解的情况下，我们仍然可以有效地训练模型。

在许多任务上，那些难以优化的模型效果要更好。

因此，弄清楚如何训练这些难以优化的模型是非常重要的。

这里我们用到一种名为梯度下降（gradient descent）的方法，

这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。

它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值）关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。

但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。

因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本，这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。

在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量 B \mathcal{B} B，它是由固定数量的训练样本组成的。

然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。

最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数 η \eta η，并从当前参数的值中减掉。

我们用下面的数学公式来表示这一更新过程（ ∂ \partial ∂表示偏导数）：

( w , b ) ← ( w , b ) − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B ∂ ( w , b ) l ( i ) ( w , b ) . (\mathbf{w},b) \leftarrow (\mathbf{w},b) - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{(\mathbf{w},b)} l^{(i)}(\mathbf{w},b). (w,b)←(w,b)−∣B∣η​i∈B∑​∂(w,b)​l(i)(w,b).

总结一下，算法的步骤如下：

（1）初始化模型参数的值，如随机初始化；

（2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。

对于平方损失和仿射变换，我们可以明确地写成如下形式:

w ← w − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B ∂ w l ( i ) ( w , b ) = w − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B x ( i ) ( w ⊤ x ( i ) + b − y ( i ) ) , b ← b − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B ∂ b l ( i ) ( w , b ) = b − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B ( w ⊤ x ( i ) + b − y ( i ) ) . \begin{aligned} \mathbf{w} &\leftarrow \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{\mathbf{w}} l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right),\\ b &\leftarrow b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_b l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned} wb​←w−∣B∣η​i∈B∑​∂w​l(i)(w,b)=w−∣B∣η​i∈B∑​x(i)(w⊤x(i)+b−y(i)),←b−∣B∣η​i∈B∑​∂b​l(i)(w,b)=b−∣B∣η​i∈B∑​(w⊤x(i)+b−y(i)).​

公式中的变量都是向量。

在这里，更优雅的向量表示法比系数表示法（如 w 1 , w 2 , … , w d w_1, w_2, \ldots, w_d w1​,w2​,…,wd​）更具可读性。

∣ B ∣ |\mathcal{B}| ∣B∣表示每个小批量中的样本数，这也称为批量大小（batch size） η \eta η表示学习率（learning rate）

批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。

这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。

调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。

超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的，而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。

在训练了预先确定的若干迭代次数后（或者直到满足某些其他停止条件后），我们记录下模型参数的估计值，表示为 w ^ , b ^ \hat{\mathbf{w}}, \hat{b} w^,b^。

但是，即使我们的函数确实是线性的且无噪声，这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。

因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛，但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。

线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题。

但是对于像深度神经网络这样复杂的模型来说，损失平面上通常包含多个最小值。

深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数，使得在训练集上的损失达到最小。

事实上，更难做到的是找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失，这一挑战被称为泛化（generalization）。

1.1.5 用模型进行预测

给定“已学习”的线性回归模型 w ^ ⊤ x + b ^ \hat{\mathbf{w}}^\top \mathbf{x} + \hat{b} w^⊤x+b^，现在我们可以通过房屋面积 x 1 x_1 x1​和房龄 x 2 x_2 x2​来估计一个（未包含在训练数据中的）新房屋价格。

给定特征估计目标的过程通常称为预测（prediction）或推断（inference）。

在统计学中，推断更多地表示基于数据集估计参数。

1.2 矢量化加速

在训练我们的模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。

为了实现这一点，需要(我们对计算进行矢量化，从而利用线性代数库，而不是在Python中编写开销高昂的for循环)。

%matplotlib inlineimport mathimport timeimport numpy as npimport torchimport d2l

为了说明矢量化为什么如此重要，我们考虑(对向量相加的两种方法)。我们实例化两个全为1的10000维向量。

在一种方法中，我们将使用Python的for循环遍历向量在另一种方法中，我们将依赖对+的调用

【自定义计时器】

class Timer: #@save"""记录多次运行时间。"""def __init__(self):self.times = []self.start()def start(self):"""启动计时器。"""self.tik = time.time()def stop(self):"""停止计时器并将时间记录在列表中。"""self.times.append(time.time() - self.tik)return self.times[-1]def avg(self):"""返回平均时间。"""return sum(self.times) / len(self.times)def sum(self):"""返回时间总和。"""return sum(self.times)def cumsum(self):"""返回累计时间。"""return np.array(self.times).cumsum().tolist()

[我们使用for循环，每次执行一位的加法]

c = torch.zeros(n)timer = Timer()for i in range(n):c[i] = a[i] + b[i]f'{timer.stop():.5f} sec'

'0.07785 sec'

(或者，我们使用重载的+运算符来计算按元素的和)

timer.start()d = a + bf'{timer.stop():.5f} sec'

'0.00000 sec'

结果很明显，第二种方法比第一种方法快得多。

矢量化代码通常会带来数量级的加速。

另外，我们将更多的数学运算放到库中，而无须自己编写那么多的计算，从而减少了出错的可能性。

1.3 正态分布与平方损失

接下来，我们通过对噪声分布的假设来解读平方损失目标函数。

正态分布和线性回归之间的关系很密切。

正态分布（normal distribution），也称为高斯分布（Gaussian distribution），最早由德国数学家高斯（Gauss）应用于天文学研究。

简单的说，若随机变量 x x x具有均值 μ \mu μ和方差 σ 2 \sigma^2 σ2（标准差 σ \sigma σ），其正态分布概率密度函数如下：

p ( x ) = 1 2 π σ 2 exp ⁡ ( − 1 2 σ 2 ( x − μ ) 2 ) . p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (x - \mu)^2\right). p(x)=2πσ2 ​1​exp(−2σ21​(x−μ)2).

下面[我们定义一个Python函数来计算正态分布]。

def normal(x, mu, sigma):p = 1 / math.sqrt(2 * math.pi * sigma**2)return p * np.exp(-0.5 / sigma**2 * (x - mu)**2)

[可视化概率分布函数]

# 再次使用numpy进行可视化x = np.arange(-7, 7, 0.01)# 均值和标准差对params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])

就像我们所看到的，改变均值会产生沿 x x x轴的偏移，增加方差将会分散分布、降低其峰值。

均方误差损失函数（简称均方损失）可以用于线性回归的一个原因是：

我们假设了观测中包含噪声，其中噪声服从正态分布。

噪声正态分布如下式:

y = w ⊤ x + b + ϵ , y = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b + \epsilon, y=w⊤x+b+ϵ,

其中， ϵ ∼ N ( 0 , σ 2 ) \epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) ϵ∼N(0,σ2)。

具体推导过程

因此，我们现在可以写出通过给定的 x \mathbf{x} x观测到特定 y y y的似然（likelihood）：

P ( y ∣ x ) = 1 2 π σ 2 exp ⁡ ( − 1 2 σ 2 ( y − w ⊤ x − b ) 2 ) . P(y \mid \mathbf{x}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (y - \mathbf{w}^\top \mathbf{x} - b)^2\right). P(y∣x)=2πσ2 ​1​exp(−2σ21​(y−w⊤x−b)2).

现在，根据极大似然估计法，参数 w \mathbf{w} w和 b b b的最优值是使整个数据集的似然最大的值：

P ( y ∣ X ) = ∏ i = 1 n p ( y ( i ) ∣ x ( i ) ) . P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \prod_{i=1}^{n} p(y^{(i)}|\mathbf{x}^{(i)}). P(y∣X)=i=1∏n​p(y(i)∣x(i)).

根据极大似然估计法选择的估计量称为极大似然估计量。

虽然使许多指数函数的乘积最大化看起来很困难，但是我们可以在不改变目标的前提下，通过最大化似然对数来简化。

由于历史原因，优化通常是说最小化而不是最大化。

我们可以改为最小化负对数似然− log ⁡ P ( y ∣ X ) -\log P(\mathbf y \mid \mathbf X) −logP(y∣X)。

由此可以得到的数学公式是：

− log ⁡ P ( y ∣ X ) = ∑ i = 1 n 1 2 log ⁡ ( 2 π σ 2 ) + 1 2 σ 2 ( y ( i ) − w ⊤ x ( i ) − b ) 2 . -\log P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \log(2 \pi \sigma^2) + \frac{1}{2 \sigma^2} \left(y^{(i)} - \mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} - b\right)^2. −logP(y∣X)=i=1∑n​21​log(2πσ2)+2σ21​(y(i)−w⊤x(i)−b)2.

现在我们只需要假设 σ \sigma σ是某个固定常数就可以忽略第一项，因为第一项不依赖于 w \mathbf{w} w和 b b b。

现在第二项除了常数 1 σ 2 \frac{1}{\sigma^2} σ21​外，其余部分和前面介绍的均方误差是一样的。

幸运的是，上面式子的解并不依赖于 σ \sigma σ。

因此，在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的极大似然估计。

1.4 从线性回归到深度网络

到目前为止，我们只谈论了线性模型。

尽管神经网络涵盖了更多更为丰富的模型，我们依然可以用描述神经网络的方式来描述线性模型，从而把线性模型看作一个神经网络。

首先，我们用“层”符号来重写这个模型。

1.4.1 神经网络图

深度学习从业者喜欢绘制图表来可视化模型中正在发生的事情。

在下图中，我们将线性回归模型描述为一个神经网络。

需要注意的是，该图只显示连接模式，即只显示每个输入如何连接到输出，隐去了权重和偏置的值。

所示的神经网络中，输入为 x 1 , … , x d x_1, \ldots, x_d x1​,…,xd​，因此输入层中的输入数（或称为特征维度，feature dimensionality）为 d d d。网络的输出为 o 1 o_1 o1​，因此输出层中的输出数是1。

需要注意的是，输入值都是已经给定的，并且只有一个计算神经元。

由于模型重点在发生计算的地方，所以通常我们在计算层数时不考虑输入层。

也就是说，图中神经网络的层数为1。

我们可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络，或称为单层神经网络。

对于线性回归，每个输入都与每个输出（在本例中只有一个输出）相连，

我们将这种变换（图中的输出层）称为全连接层（fully-connected layer）或称为稠密层（dense layer）。

1.4.2 生物学

线性回归发明的时间（1795年）早于计算神经科学，所以将线性回归描述为神经网络似乎不合适。

当控制学家、神经生物学家沃伦·麦库洛奇和沃尔特·皮茨开始开发人工神经元模型时，

他们为什么将线性模型作为一个起点呢？

我们来看一张图片：

这是一张由树突（dendrites，输入终端）、细胞核（nucleu，CPU）组成的生物神经元图片。

轴突（axon，输出线）和轴突端子（axon terminal，输出端子）通过突触（synapse）与其他神经元连接。

树突中接收到来自其他神经元（或视网膜等环境传感器）的信息 x i x_i xi​。

该信息通过突触权重w i w_i wi​来加权，以确定输入的影响（即，通过 x i w i x_i w_i xi​wi​相乘来激活或抑制）。

来自多个源的加权输入以加权和 y = ∑ i x i w i + b y = \sum_i x_i w_i + b y=∑i​xi​wi​+b的形式汇聚在细胞核中，

然后将这些信息发送到轴突 y y y中进一步处理，通常会通过 σ ( y ) \sigma(y) σ(y)进行一些非线性处理。

之后，它要么到达目的地（例如肌肉），要么通过树突进入另一个神经元。

当然，许多这样的单元可以通过正确连接和正确的学习算法拼凑在一起，

从而产生的行为会比单独一个神经元所产生的行为更有趣、更复杂，

这种想法归功于我们对真实生物神经系统的研究。

当今大多数深度学习的研究几乎没有直接从神经科学中获得灵感。

我们援引斯图尔特·罗素和彼得·诺维格谁，在他们的经典人工智能教科书

Artificial Intelligence:A Modern Approach中所说：虽然飞机可能受到鸟类的启发，但几个世纪以来，鸟类学并不是航空创新的主要驱动力。

同样地，如今在深度学习中的灵感同样或更多地来自数学、统计学和计算机科学。

1.5 小结

机器学习模型中的关键要素是训练数据、损失函数、优化算法，还有模型本身。矢量化使数学表达上更简洁，同时运行的更快。最小化目标函数和执行极大似然估计等价。线性回归模型也是一个简单的神经网络。

1.6 思考题及其解答

练习

假设我们有一些数据 x 1 , … , x n ∈ R x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R} x1​,…,xn​∈R。我们的目标是找到一个常数 b b b，使得最小化 ∑ i ( x i − b ) 2 \sum_i (x_i - b)^2 ∑i​(xi​−b)2。 找到最优值 b b b的解析解。这个问题及其解与正态分布有什么关系? 推导出使用平方误差的线性回归优化问题的解析解。为了简化问题，可以忽略偏置 b b b（我们可以通过向 X \mathbf X X添加所有值为1的一列来做到这一点）。 用矩阵和向量表示法写出优化问题（将所有数据视为单个矩阵，将所有目标值视为单个向量）。计算损失对 w w w的梯度。通过将梯度设为0、求解矩阵方程来找到解析解。什么时候可能比使用随机梯度下降更好？这种方法何时会失效？ 假定控制附加噪声 ϵ \epsilon ϵ的噪声模型是指数分布。也就是说， p ( ϵ ) = 1 2 exp ⁡ ( − ∣ ϵ ∣ ) p(\epsilon) = \frac{1}{2} \exp(-|\epsilon|) p(ϵ)=21​exp(−∣ϵ∣) 写出模型 − log ⁡ P ( y ∣ X ) -\log P(\mathbf y \mid \mathbf X) −logP(y∣X)下数据的负对数似然。你能写出解析解吗？提出一种随机梯度下降算法来解决这个问题。哪里可能出错？（提示：当我们不断更新参数时，在驻点附近会发生什么情况）你能解决这个问题吗？

2. 基础优化方法

2.1 梯度下降

挑选一个初始值 w 0 w_0 w0​

重复迭代参数t=1,2,3

w t w_t wt​= w t − 1 − η w_{t-1}-\eta wt−1​−η ∂ l ∂ w t − 1 \frac{\partial l}{\partial w_{t-1}} ∂wt−1​∂l​

沿梯度方向将增加损失函数值

学习率 η \eta η：步长的超参数

2.2 选择学习率

2.3 小批量随机梯度下降

2.4 总结

3. 线性回归从零开始实现

3.1 生成数据集

[根据带有噪声的线性模型构造一个人造数据集。]

生成一个包含1000个样本的数据集，

每个样本包含从标准正态分布中采样的2个特征。合成数据集是一个矩阵 X ∈ R 1000 × 2 \mathbf{X}\in \mathbb{R}^{1000 \times 2} X∈R1000×2。

(**我们使用线性模型参数 w = [ 2 , − 3.4 ] ⊤ \mathbf{w} = [2, -3.4]^\top w=[2,−3.4]⊤、 b = 4.2 b = 4.2 b=4.2和噪声项 ϵ \epsilon ϵ生成数据集及其标签：

y = X w + b + ϵ . \mathbf{y}= \mathbf{X} \mathbf{w} + b + \mathbf\epsilon. y=Xw+b+ϵ.

**)

将 ϵ \epsilon ϵ视为模型预测和标签时的潜在观测误差。在这里我们认为标准假设成立，即 ϵ \epsilon ϵ服从均值为0的正态分布。为了简化问题，我们将标准差设为0.01。

%matplotlib inlineimport randomimport torchimport d2ldef synthetic_data(w, b, num_examples): """生成 y = Xw + b + 噪声。"""X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))#生成一个均值为0，方差为1的正态随机数矩阵，矩阵的维度为样本数×特征个数y = torch.matmul(X, w) + by += torch.normal(0, 0.01, y.shape)#加入一个随机噪音return X, y.reshape((-1, 1))true_w = torch.tensor([2, -3.4])true_b = 4.2features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)print('features:', features[0],'\nlabel:', labels[0])#features中的每一行都包含一个二维数据样本， labels中的每一行都包含一维标签值（一个标量）

features: tensor([-1.3686, 1.0361]) label: tensor([-2.0784])

feature中每个变量和label的关系均为线性

d2l.set_figsize()d2l.plt.scatter(features[:, (0)].detach().numpy(), labels.detach().numpy(), s=1);#在pytorch的某些版本中需要将变量从计算图中detach出来才能转换成numpyd2l.plt.scatter(features[:, (1)].detach().numpy(), labels.detach().numpy(), s=1);

3.2 读取数据集

[定义一个data_iter函数，该函数接收批量大小、特征矩阵和标签向量作为输入，生成大小为batch_size的小批量，每个小批量包含一组特征和标签]。

def data_iter(batch_size, features, labels):num_examples = len(features)indices = list(range(num_examples))# 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序random.shuffle(indices)for i in range(0, num_examples, batch_size):batch_indices = torch.tensor(indices[i: min(i + batch_size,num_examples)])yield features[batch_indices], labels[batch_indices]

3.3 初始化模型参数

[在我们开始用小批量随机梯度下降优化我们的模型参数之前]，

(我们需要先有一些参数)。

在下面的代码中，我们通过从均值为0、标准差为0.01的正态分布中采样随机数来初始化权重，

并将偏置初始化为0。

w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True)b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

3.4 定义模型

[定义模型，将模型的输入和参数同模型的输出关联起来。]

def linreg(X, w, b): """线性回归模型。"""return torch.matmul(X, w) + b

3.4.1 定义损失函数

因为需要计算损失函数的梯度，所以我们应该先定义损失函数，这里我们使用平方损失函数。

def squared_loss(y_hat, y):"""均方损失。"""return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2

3.4.2 定义优化算法（小批量随机梯度下降）

在每一步中，使用从数据集中随机抽取的一个小批量，然后根据参数计算损失的梯度。

接下来，朝着减少损失的方向更新我们的参数。

该函数接受模型参数集合、学习速率和批量大小作为输入。每一步更新的大小由学习速率lr决定。

因为我们计算的损失是一个批量样本的总和，所以我们用批量大小（batch_size）来规范化步长，这样步长大小就不会取决于我们对批量大小的选择。

def sgd(params, lr, batch_size): """小批量随机梯度下降。"""with torch.no_grad():for param in params:param -= lr * param.grad / batch_sizeparam.grad.zero_()#每次迭代都要将梯度清零

3.5 训练

[训练过程]

在每次迭代中，我们读取一小批量训练样本，并通过我们的模型来获得一组预测。

计算完损失后，我们开始反向传播，存储每个参数的梯度。

最后，我们调用优化算法sgd来更新模型参数。

概括一下，我们将执行以下循环：

初始化参数重复以下训练，直到完成 计算梯度 g ← ∂ ( w , b ) 1 ∣ B ∣ ∑ i ∈ B l ( x ( i ) , y ( i ) , w , b ) \mathbf{g} \leftarrow \partial_{(\mathbf{w},b)} \frac{1}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} l(\mathbf{x}^{(i)}, y^{(i)}, \mathbf{w}, b) g←∂(w,b)​∣B∣1​∑i∈B​l(x(i),y(i),w,b)更新参数 ( w , b ) ← ( w , b ) − η g (\mathbf{w}, b) \leftarrow (\mathbf{w}, b) - \eta \mathbf{g} (w,b)←(w,b)−ηg

在每个迭代周期（epoch）中，我们使用data_iter函数遍历整个数据集，并将训练数据集中所有样本都使用一次（假设样本数能够被批量大小整除）。

这里的迭代周期个数num_epochs和学习率lr都是超参数，分别设为3和0.03。

设置超参数很棘手，需要通过反复试验进行调整。

lr = 0.03#学习率num_epochs = 3#迭代次数net = linreg#使用线性回归模型loss = squared_loss#采用均方误差for epoch in range(num_epochs):for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):l = loss(net(X, w, b), y) # `X`和`y`的小批量损失# 因为`l`形状是(`batch_size`, 1)，而不是一个标量。`l`中的所有元素被加到一起，# 并以此计算关于[`w`, `b`]的梯度l.sum().backward()sgd([w, b], lr, batch_size) # 使用参数的梯度更新参数with torch.no_grad():train_l = loss(net(features, w, b), labels)print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')

epoch 1, loss 0.046312epoch 2, loss 0.000188epoch 3, loss 0.000051

因为我们使用的是自己合成的数据集，所以我们知道真正的参数是什么。

因此，我们可以通过[比较真实参数和通过训练学到的参数来评估训练的成功程度]。

事实上，真实参数和通过训练学到的参数确实非常接近。

print(f'w的估计误差: {true_w - w.reshape(true_w.shape)}')print(f'b的估计误差: {true_b - b}')

w的估计误差: tensor([0.0002, 0.0001], grad_fn=<SubBackward0>)b的估计误差: tensor([-0.0002], grad_fn=<RsubBackward1>)

在机器学习中，我们通常不太关心恢复真正的参数，而更关心如何高度准确预测参数。

幸运的是，即使是在复杂的优化问题上，随机梯度下降通常也能找到非常好的解。

其中一个原因是，在深度网络中存在许多参数组合能够实现高度精确的预测。

3.6 小结

我们学习了深度网络是如何实现和优化的。在这一过程中只使用张量和自动微分，不需要定义层或复杂的优化器。这一节只触及到了表面知识。在下面的部分中，我们将基于刚刚介绍的概念描述其他模型，并学习如何更简洁地实现其他模型。

3.7 思考题及解答

如果我们将权重初始化为零，会发生什么。算法仍然有效吗？

答：无隐藏层时权重可以初始化为0 ，但是后续如果有隐藏层权重初始化为0会导致训练过程中所有隐藏层权重都是相等的。详细内容见：谈谈神经网络权重为什么不能初始化为0

假设你是乔治·西蒙·欧姆，试图为电压和电流的关系建立一个模型。你能使用自动微分来学习模型的参数吗?

import randomimport torch#生成数据def synthetic_data_Ohm(true_R, num): """U=IR + 噪声。"""I = torch.rand(num,1)#生成电流值，物理意义均为正，在此用(0,1)均匀分布U = torch.matmul(I, true_R)#U=IR,广播机制U += torch.normal(0, 0.1, U.shape)return I,U#读取数据def data_iter(batch_size, I, U):# 载入数据集，分成batchnum = len(I)indices = list(range(num))# 创建整个数据集的索引random.shuffle(indices) # 打乱索引，便于随机抽取batchfor i in range(0, num, batch_size):batch_indices = torch.tensor(indices[i: min(i + batch_size, num)])yield I[batch_indices], U[batch_indices]#用yield不用return便于训练时的迭代#定义模型def model_for_Ohm(I,R): # 欧姆定律模型return torch.matmul(I, R)#定义损失函数# def loss_for_Ohm(predicted_U, U): # 采用的是交叉熵#return 0.5/len(U)*(predicted_U - U).norm()def loss_for_Ohm(y_hat, y):"""均方损失。"""return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2#定义优化算法def sgd(params, lr,batch_size): #小批量随机梯度下降。with torch.no_grad():#优化算法更新参数不能算在计算图中，所以先声明一下for param in params:param -= lr * param.grad /batch_sizeparam.grad.zero_()#每次迭代都要将梯度清零if __name__ == "__main__":#生成数据true_R = torch.tensor([3.5])I, U = synthetic_data_Ohm(true_R, 1000)#初始化模型参数 R = torch.normal(0, 0.01, size = true_R.shape, requires_grad = True)#开始训练batch_size = 30lr = 0.1num_epochs = 10net = model_for_Ohmloss = loss_for_Ohmfor epoch in range(num_epochs):for i, u in data_iter(batch_size, I, U):l = loss(net(i, R), u) l.sum().backward()#反向传播计算梯度sgd([R], lr, batch_size) #梯度下降优化with torch.no_grad():#计算epochloss时，只是检验一下，不需要算在计算图里train_l = loss(net(I, R), U)print(f'train loss for epoch {epoch} is {train_l.mean()} \n')print('实际的电阻值 = ', true_R, '\n', '训练学习到的电阻值 = ', R)

train loss for epoch 0 is 0.22325269877910614 train loss for epoch 1 is 0.02835436537861824 train loss for epoch 2 is 0.007398840971291065 train loss for epoch 3 is 0.005151285789906979 train loss for epoch 4 is 0.00489839306101203 train loss for epoch 5 is 0.004865396302193403 train loss for epoch 6 is 0.004861971363425255 train loss for epoch 7 is 0.004862657748162746 train loss for epoch 8 is 0.004861508961766958 train loss for epoch 9 is 0.004861524328589439 实际的电阻值 = tensor([3.5000]) 训练学习到的电阻值 = tensor([3.4986], requires_grad=True)

如果你想计算二阶导数可能会遇到什么问题？你会如何解决这些问题？

计算量特别大，我会用近似算法来计算二阶导数，例如使用拟牛顿方法替代牛顿法。

为什么在squared_loss函数中需要使用reshape函数？

答：y_hat的形状是（n,1）是二维的tensor，而yy的形状是（n,）是一维的tensor。如果不使用reshape函数，二者相减y_hat - y会引发tensor的广播机制，得到形状是（n,n）的结果，不符合我们的需求。我们想要的损失形状是（n,1），所以必须要使用reshape函数（y.reshape(y_hat.shape)）把y从一维（n，）变为二维（n,1）。

如果样本个数不能被批量大小整除，data_iter函数的行为会有什么变化？

答：如果样本个数不能被整除，在epoch中的最后一个Batch的样本个数不到batchsize

4.线性回归的简洁实现

在过去的几年里，出于对深度学习强烈的兴趣，许多公司、学者和业余爱好者开发了各种成熟的开源框架。这些框架可以自动化基于梯度的学习算法中重复性的工作。

在 上一部分中，我们只运用了：

（1）通过张量来进行数据存储和线性代数；

（2）通过自动微分来计算梯度。

(通过使用深度学习框架来简洁地实现线性回归模型)

4.1 生成数据集

import numpy as npimport torchfrom torch.utils import data#引入处理数据的模块import d2l#人工生成数据def synthetic_data(w, b, num_examples): """生成 y = Xw + b + 噪声。"""X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))#y = torch.matmul(X, w) + by += torch.normal(0, 0.01, y.shape)#加入一个随机噪音return X, y.reshape((-1, 1))true_w = torch.tensor([2, -3.4])true_b = 4.2features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

4.2 读取数据集

我们可以[调用框架中现有的API来读取数据]。

我们将features和labels作为API的参数传递，并通过数据迭代器指定batch_size。

此外，布尔值is_train表示是否希望数据迭代器对象在每个迭代周期内打乱数据。

def load_array(data_arrays, batch_size, is_train=True): """构造一个PyTorch数据迭代器。"""dataset = data.TensorDataset(*data_arrays)return data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=is_train)

4.3 定义模型

当我们在上节中实现线性回归时，我们明确定义了模型参数变量，并编写了计算的代码，这样通过基本的线性代数运算得到输出。

但是，如果模型变得更加复杂，且当你几乎每天都需要实现模型时，你会想简化这个过程。

这种情况类似于为自己的博客从零开始编写网页。

做一两次是有益的，但如果每个新博客你就花一个月的时间重新开始编写网页，那并不高效。

对于标准深度学习模型，我们可以[使用框架的预定义好的层]。这使我们只需关注使用哪些层来构造模型，而不必关注层的实现细节。

我们首先定义一个模型变量net，它是一个Sequential类的实例。Sequential类将多个层串联在一起。当给定输入数据时，Sequential实例将数据传入到第一层，然后将第一层的输出作为第二层的输入，以此类推。

在下面的例子中，我们的模型只包含一个层，因此实际上不需要Sequential。

但是由于以后几乎所有的模型都是多层的，在这里使用Sequential会让你熟悉“标准的流水线”。

回顾 1.4.1中的单层网络架构，这一单层被称为全连接层（fully-connected layer），因为它的每一个输入都通过矩阵-向量乘法得到它的每个输出。

在PyTorch中，全连接层在Linear类中定义。

值得注意的是，我们将两个参数传递到nn.Linear中。

第一个指定输入特征形状，即2，第二个指定输出特征形状，输出特征形状为单个标量，因此为1。

from torch import nn# `nn` 是神经网络的缩写net = nn.Sequential(nn.Linear(2, 1))#输入维度为2，输出维度为1，放在Sequential容器里面#Sequential是一个有序的容器，神经网络模块将按照传入构造器的顺序依次被添加到计算图中执行#同时以神经网络模块为元素的有序字典也可以作为传入参数。

4.3.1 初始化模型参数

在使用net之前，我们需要初始化模型参数。

如在线性回归模型中的权重和偏置。

深度学习框架通常有预定义的方法来初始化参数。

在这里，我们指定每个权重参数应该从均值为0、标准差为0.01的正态分布中随机采样，偏置参数将初始化为零。

正如我们在构造nn.Linear时指定输入和输出尺寸一样，现在我们能直接访问参数以设定它们的初始值。

我们通过net[0]选择网络中的第一个图层，然后使用weight.data和bias.data方法访问参数。

我们还可以使用替换方法normal_和fill_来重写参数值。

net[0].weight.data.normal_(0, 0.01)#使用正态分布替换data的值net[0].bias.data.fill_(0)#将偏差设置为0

tensor([0.])

4.3.2 定义损失函数

[计算均方误差使用的是MSELoss类，也称为平方 L 2 L_2 L2​范数]。

默认情况下，它返回所有样本损失的平均值。

loss = nn.MSELoss()

4.3.3 定义优化算法

小批量随机梯度下降算法是一种优化神经网络的标准工具，

PyTorch在optim模块中实现了该算法的许多变种。

当我们(实例化一个SGD实例)时，我们要指定优化的参数（可通过net.parameters()从我们的模型中获得）以及优化算法所需的超参数字典。

小批量随机梯度下降只需要设置lr值，这里设置为0.03。

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.03)

4.4 训练

通过深度学习框架的高级API来实现我们的模型只需要相对较少的代码。

我们不必单独分配参数、不必定义我们的损失函数，也不必手动实现小批量随机梯度下降。

当我们需要更复杂的模型时，高级API的优势将大大增加。

当我们有了所有的基本组件，[训练过程代码与我们从零开始实现时所做的非常相似]。

回顾一下：在每个迭代周期里，我们将完整遍历一次数据集（train_data），

不停地从中获取一个小批量的输入和相应的标签。

对于每一个小批量，我们会进行以下步骤:

通过调用net(X)生成预测并计算损失l（前向传播）。通过进行反向传播来计算梯度。通过调用优化器来更新模型参数。

为了更好的衡量训练效果，我们计算每个迭代周期后的损失，并打印它来监控训练过程。

num_epochs = 3 #设置迭代次数 for epoch in range(num_epochs):for X, y in data_iter:l = loss(net(X) ,y)#预测值和真实值trainer.zero_grad()#将梯度清零l.backward()#通过进行反向传播来计算梯度trainer.step()#进行模型的更新l = loss(net(features), labels)print(f'epoch {epoch + 1}, loss {l:f}')

epoch 1, loss 0.000322epoch 2, loss 0.000095epoch 3, loss 0.000097

下面我们[比较生成数据集的真实参数和通过有限数据训练获得的模型参数]。

要访问参数，我们首先从net访问所需的层，然后读取该层的权重和偏置。

正如在从零开始实现中一样，我们估计得到的参数与生成数据的真实参数非常接近。

w = net[0].weight.dataprint('w的估计误差：', true_w - w.reshape(true_w.shape))b = net[0].bias.dataprint('b的估计误差：', true_b - b)

w的估计误差： tensor([-1.3533e-03, -2.1935e-05])b的估计误差： tensor([-0.0015])

4.5 小结

我们可以使用PyTorch的高级API更简洁地实现模型。在PyTorch中，data模块提供了数据处理工具，nn模块定义了大量的神经网络层和常见损失函数。我们可以通过_结尾的方法将参数替换，从而初始化参数。

答：应该把学习率除以batch_size，因为默认参数是’mean’，换成’sum’需要除以批量数，一般会采用默认，因为这样学习率可以跟batch_size

4.6 思考题及其解答

如果我们用nn.MSELoss(reduction='sum')替换nn.MSELoss()，为了使代码的行为相同，需要怎么更改学习速率？为什么？

答：应该把学习率除以batch_size，因为默认参数是’mean’，换成’sum’需要除以批量数，一般会采用默认，因为这样学习率可以跟batch_size解耦

查看PyTorch文档，了解其提供了哪些损失函数和初始化方法。用Huber损失代替原损失。

PyTorch文档

PyTorch中的损失函数大致使用场景

你如何访问net[0].weight的梯度？

print(net[0].weight.grad)