阻带窗函数[数字信号处理]使用窗函数设计FIR滤波器

在写这篇文章之前，xxx已经写过了几篇关于改阻带窗函数主题的文章,想要了解的朋友可以去翻一下之前的文章

1.计划参数

首先，先明白几个观点。通带，阻带，过渡带，通带纹波和阻带纹波分别是什么？看下图，

范围称为通带，对于允许误差而言，这个范围，称为通带纹波。一样的，对于范围则是阻带，这个范围，称为阻带纹波。中间的玄色部份是过度带。角频率称为通带边缘频率，角频率则被称为阻带起始频率。

平日的滤波器的计划，都会指明这几个参数，最后计划的滤波器，必须满意这几个参数。当然，这里举得例子是低通滤波器的，高通或者带通，就与之相反了。

2.理想FIR低通滤波器

首先，先由理想低通滤波器为动身点开始考虑。理想低通滤波器的频响如下所示

这里的，表示截止频率。

先由理想的滤波器动身，求其理想滤波器的单位打击响应。得到了单位打击响应，也就得到了滤波器的系数。这样，我们就计划出了一个理想的滤波器。这是一个完善的想法，那么开始着手吧，寻找他的单位打击响应。运用离散时光的傅里叶逆变换，有如下的式子。

由此，我们得到了一个单位打击响应的表达式（sinc是辛格函数），到这我们就能够计划出一个理想的滤波器了吗？好吧，让我们再确认一遍。第一，这个式子是离散的。对于单位打击响应，本来就应该是离散的，没有错，很好，我们距离理想滤波器又近了一步。第二，这个式子所求出的单位打击响应的个数，很可怜！个数是无限的。到这里，我们基本可以确定了，理想滤波器是实现不了的。

虽然理想滤波器是实现不了的，但是我们可以退一步，从无限的理想滤波器的单位打击响应中，在选择一部份打击响应，构成一个不太理想的，但又到达一定标准的滤波器。我们只能“迁就”着使用这个不太理想的滤波器，那么接下来还有一个问题，我们要如何从无限的数列中选择出无限的一部份，从而到达我们的计划要求。

3.窗函数

首先，我们先考虑最简略的情况。对于理想单位打击响应而言，其形状大概和一个高斯分布很像（当然，只是很像，n=0时候，单位打击响应的值最大，由双方渐渐减少。当然，可能也出现负值。）！所以，我们为了能使得滤波器的性能接近理想滤波器，那么，我们选择其最重要的部份，也就是，值较大的部份。其余部份则放弃。根据之前的叙述，我们可以使用如下式子表示。

这个式子确切可以帮助我们选择一部份无限的数列。而这个式子，被称为矩形窗。可以看出，Ｎ越大，性能越街进理想滤波器。这里Ｎ称为窗函数的长度。

这就是我们选定的窗口，然后我们把窗口函数加上，也就是加窗！其实也就一个乘法，如下所示。

这样，也就完成了一个加窗。

但是，在现实的实际过程中，很罕用矩形窗的。其原因是，矩形窗的阻带衰减不够，仅仅只有21[dB]。于是，林林总总的窗口就被提出了。各有各的特点，在我们所学的初步的计划中，我们就仅仅看阻带衰减就够了。各种窗函数的性能如下。

每日一道理

有些冷，有些凉，心中有些无奈，我一个人走在黑夜中，有些颤抖，身体瑟缩着，新也在抖动着，我看不清前方的路，何去何从，感觉迷茫，胸口有些闷，我环视了一下周围，无人的街头显得冷清，感到整个世界都要将我放弃。脚步彷徨之间，泪早已滴下……

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窗函数 过渡带巨细 阻带衰减

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矩形窗 1.8π/N 21[dB]

汉宁窗 6.2π/N 44[dB]

汉明窗 6.6π/N 53[dB]

布莱克曼窗 11π/N 74[dB]

4.用窗函数实现一个FIR滤波器

以上说了很多有关于窗函数的原理，当初来整理一下计划的步调。

1.根据计划的规格，参数要求，我们选择一个合适的窗函数。这里重要我们还是看阻带衰减，阻带衰减要大于给定的值。一般，若没有给定阻带衰减，我们则需要通过通带纹波和阻带纹波去求，如下。

2.根据要求的通带边缘频率和阻带起始频率，盘算过度区的巨细，从而盘算出窗函数的长度。

3.最后，根据窗函数和理想滤波器的单位打击响应，盘算出我们所需要的滤波器的单位打击响应。

当初，我们来实战一下，假设我们需要计划如下滤波器。

规格中，没有给定阻带衰减，我们只能自己盘算。

这里，阻带衰减为40.8[dB]，我们选择的窗的阻带衰减不能比这个小，这里其实汉宁窗就能够做到。但我还是选择用汉明窗去做。然后，盘算窗长度。

窗长度有了，盘算单位打击响应吧。

这样，我们就得到了一个FIR滤波器。上面是我们盘算出来的这个滤波器的单位打击响应。

5.写在最后的话

到此，我们“计划”出了一个滤波器，我们也顺遂的得出了它的单位脉冲响应。

但是，滤波器真的可以实现么？真的可以计划出这样一个滤波器么？

我觉得要拿着这个单位脉冲响应结果，去现实盘算一下，才能发明，这样的滤波器是实现不了的！拿教科书上的话来讲，这个滤波器是非因果的！

文章结束给大家分享下程序员的一些笑话语录： 系统程序员

1、头皮经常发麻，在看见一个蓝色屏幕的时候比较明显，在屏幕上什幺都看不见的时候尤其明显；

2、乘电梯的时候总担心死机，并且在墙上找reset键；

3、指甲特别长，因为按F7到F12比较省力；

4、只要手里有东西，就不停地按，以为是Alt-F、S；

5、机箱从来不上盖子，以便判断硬盘是否在转；

6、经常莫名其妙地跟踪别人，手里不停按F10；

7、所有的接口都插上了硬盘，因此觉得26个字母不够；

8、一有空就念叨“下辈子不做程序员了”；

9、总是觉得9号以后是a号；

10、不怕病毒，但是很害怕自己的程序；

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响应和单位

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