不少学习过线性代数的同学可能都有这样的疑惑，就是线性代数到底是什么？我们算的这些东西究竟有什么用？回忆起这门课来可能仅有的印象也就是矩阵、向量、还有一个特征什么来着？
线性代数是一门相对较为年轻的学科，起源于十九世纪。其最初的作用是求解线性方程组。方程组尤其是当未知数的个数非常多的情况下，计算量是相当大的。但有了矩阵计算的这个工具后，计算方程组就变得十分简便了。随着这一学科的发展，其应用也变得更为广泛，比如未知数比方程个数多的情况，或无解的情况（没有一条直线能够无误差地满足所有方程）。
在我看来，线性代数同时也是一门数据科学中的重要学科，因为矩阵、向量就是直接用来描述量化数据的最好的工具。同时，线性代数在几何上也有着重要的应用。我们知道向量是既有大小又有方向的量，由向量定义了向量空间，以及在其中的直线、平面、超平面等，以及他们之间的线性关系。比如线性方程组，
写成矩阵的形式
矩阵A的作用相当于在二维空间中将向量(x,y)变换为(3,-1)。而A的逆矩阵
的作用就是按照A将(x,y)变成(3,1)的变换轨迹将(3,-1)变回到(x,y)。
如
这个矩阵能够将 变换为 ，将 变成 。
可以发现，向量在变换之后，其方向发生了变化。那么，有没有这样的矩阵，将向量变换完之后，得到的新向量与原来的向量的方向相同呢？
下面就要介绍矩阵的特征向量与特征值了。
对于矩阵
和向量 ，如果新得到的向量与原向量是同向的，那么的结果是一个与v同向的向量，可以表示为 ， 为常数，也即 。
也就是说，满足这个等式的向量就是经矩阵
变换后方向不变的向量了。这样的向量就叫做特征向量(eigenvector)，这个 就是向量被拉伸或压缩的倍数，称为特征值(eigenvalue)。
下面我们试着求一下一个矩阵的特征值和特征向量。
为了计算过程的直观，我们考虑二维矩阵
的特征值和特征向量。
由特征向量的定义，我们知道
。
其中
为同阶的单位矩阵。
如果
为非零向量的话， 时， ， 就是一个特征向量，也就是说这个向量经过矩阵A的转换后，得到的向量是与原向量相同方向的向量。特征值是经过矩阵A的转换后，新的与原向量同向的向量v的伸缩倍数。例如，对于一个三阶矩阵A来说，其特征向量的方向就是矩阵A对任意向量变换时的旋转轴。
特征向量和特征值是线性代数研究中的一个重要工具，其在图像处理和数据处理等等许多领域都发挥着重要作用。希望这篇文章能够让矩阵和向量看上去不再那么毫无意义。
