题目描述
你在一家 IT 公司为大型写字楼或办公楼(offices)的计算机数据做备份。然而数据备份的工作是枯燥乏味 的,因此你想设计一个系统让不同的办公楼彼此之间互相备份,而你则坐在家中尽享计算机游戏的乐趣。已知办公 楼都位于同一条街上。你决定给这些办公楼配对(两个一组)。每一对办公楼可以通过在这两个建筑物之间铺设网 络电缆使得它们可以互相备份。然而,网络电缆的费用很高。当地电信公司仅能为你提供 K 条网络电缆,这意味 着你仅能为 K 对办公楼(或总计2K个办公楼)安排备份。任一个办公楼都属于唯一的配对组(换句话说,这 2K 个办公楼一定是相异的)。此外,电信公司需按网络电缆的长度(公里数)收费。因而,你需要选择这 K 对办公 楼使得电缆的总长度尽可能短。换句话说,你需要选择这 K 对办公楼,使得每一对办公楼之间的距离之和(总距 离)尽可能小。下面给出一个示例,假定你有 5 个客户,其办公楼都在一条街上,如下图所示。这 5 个办公楼分 别位于距离大街起点 1km, 3km, 4km, 6km 和 12km 处。电信公司仅为你提供 K=2 条电缆。 上例中最好的配对方案是将第 1 个和第 2 个办公楼相连,第 3 个和第 4 个办公楼相连。这样可按要求使用 K=2 条电缆。第 1 条电缆的长度是 3km-1km=2km ,第 2 条电缆的长度是 6km-4km=2km。这种配对方案需要总长 4km 的网络电缆,满足距离之和最小的要求。输入
第一行包含整数n和k 其中n(2≤n≤100000)表示办公楼的数目,k(1≤k≤n/2)表示可利用的网络电缆的数目。 接下来的n行每行仅包含一个整数(0≤s≤1000000000),表示每个办公楼到大街起点处的距离。 这些整数将按照从小到大的顺序依次出现。输出
输出应由一个正整数组成,给出将2K个相异的办公楼连成k对所需的网络电缆的最小总长度。
样例输入
5 21
3
4
6
12
样例输出
4 首先选择的每对点一定是相邻的点,将相邻坐标相减即可得到$n-1$个可选方案,我们需要在这些方案中选择$k$个。因为每个点只能在最多一个方案中,所以相邻的方案不能同时选择。这个问题显然可以用费用流来解决:将$n$个点中每个点分成两个点$a_{i},b_{i}$,源点连向$a_{i}$,$b_{i}$连向汇点,$a_{i}$连向$b_{i-1}$和$b_{i+1}$。这样跑一遍费用流既可以得到答案二倍大小的最小费用(因为在建模中$i$匹配$i+1$和$i+1$匹配$i$被算了两次),我们考虑这个图的特殊性质:每个点只向它两边的两个点连边(即不考虑源点与汇点连的边,剩余边是两条交错的链)。那么当选了一种方案$i$进行增广并建反向边之后,如果在之后增广到$i$相邻的一个方案(假设是$i-1$),那么根据费用流每次选择最短路的原则一定会走$i$方案的反向边然后再走$i+1$方案。这样我们就可以模拟这个过程,用堆来维护当前代价最小的方案,每次取出最优方案后(假设最优方案为$b$,相邻方案为$a,c$),将最优方案与相邻方案取出,并在原位置放入代价为$a+c-b$的新方案,这样如果选了新方案就说明实际选择了$a$和$c$而放弃了$b$,也就实现了费用流的反悔过程。而这样每次取出堆顶时也保证了多选了一个方案(不过这里注意两端的处理)。而相邻关系用双向链表维护即可。#include<set>#include<map>#include<queue>#include<stack>#include<cmath>#include<cstdio>#include<vector>#include<bitset>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>#define ll long long#define pr pair<ll,int>using namespace std;int n,k;priority_queue< pr,vector<pr>,greater<pr> >q;int cnt;int pre[600010];int suf[600010];int a[600010];int vis[300010];ll s[300010];int t[300010];int v[600010];ll ans;int main(){scanf("%d%d",&n,&k);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);if(i!=1){v[i]=a[i]-a[i-1];}}for(int i=2;i<=n;i++){cnt++;s[cnt]=1ll*v[i];t[cnt]=cnt;pre[cnt]=cnt-1;suf[cnt]=cnt+1;q.push(make_pair(s[cnt],t[cnt]));}pre[1]=0;suf[n-1]=0;s[0]=1<<30;while(k){int now=q.top().second;ll res=q.top().first;q.pop();if(!vis[now]){ans+=res;vis[now]=1;vis[pre[now]]=1;vis[suf[now]]=1;cnt++;t[cnt]=cnt;s[cnt]=s[pre[now]]+s[suf[now]]-res;pre[cnt]=pre[pre[now]];suf[cnt]=suf[suf[now]];suf[pre[pre[now]]]=cnt;pre[suf[suf[now]]]=cnt;q.push(make_pair(s[cnt],t[cnt]));k--;}}printf("%lld",ans);}